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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0025
Algebraische Theorie der differentiierbaren Funktionenkörper I. 25
2. im Falle die Charakteristik p £ 0 ist, die p-ten Potensen aller
Elemente aus Ä in K enthalten sind,
d. h. wegen VI a, dann und nur dann, wenn jedes nicht in K ent-
haltene Element aus A in Hinsicht auf K quasitranszendent ist.
A. Die Notwendigkeit der Bedingungen 1. und 2. folgt aus Zu-
satz 1 des Satz 1 und VI.
B. Unter einer Basis von A in bezug auf K sei ein Elemente-
system {ßv} aus A verstanden, so daß
1. zwischen keiner endlichen Zahl von ßv eine algebraische1) Be-
ziehung mit Koeffizienten aus K besteht,
2. die Elemente von A in Hinsicht auf K(jßvf) sämtlich alge-
braisch sind; für p 4 0 ist wegen Via also ^4 = V ({/S^}).
Die Existenz einer solchen Basis zeigt man in üblicherweise2);
es ist ja ß0 quasitranszendent in Hinsicht auf K (jßv}0'), wenn (ßjjp
irgendein ß0 nicht enthaltendes Teilsystem der ßv ist. Für den Fall
p f 0 berücksichtige man r • q * 0 mod p, wenn r ± 0 mod p und
± 0 mod p sowie Steinitz 1. c. p. 200 Satz 2, da ja 2. erfüllt ist. Es
sind jetzt zwei Fälle zu unterscheiden:
Br [ßv] ist ein endliches System. 1 < r <. w.
Dann bilden wir die folgende Körperfolge: J.0 = 7l, Av = Av_1(ßv) bis
zur Erschöpfung der ßv, die n. V. nach endlich vielen Schritten ein-
tritt. Da in K auf jeden Fall allein die Null integrabel ist (wegen I),
so ist Satz 2 bei der Bildung von Ax anwendbar, da ja n.V. ßx in Hin-
sicht auf Aa quasitranszendent ist; werde also Ax auf Grund des Satz 2
zu einem DK gemacht mit K als CK. Sei weiter Av aus Av_x auf
Grund des Satz 2 zu einem DK mit K als CK gemacht für r<7
Dann gibt es in Ai nach Satz 4,2 notwendig nichtintegrable Elemente
und Satz 2 ist auf Ai+1 zur Bildung aus Ai anwendbar.
ist also in diesem Falle zu einem DK gemacht.
B2. [ßß\ sei ein unendliches System. — Hier ist das ad BT
benutzte Verfahren nicht anwendbar, weil bei einem Limes über un-
endlich viele Adjunktionen von ßv die durch Satz 4,2 aufgewiesenen
0 Im Falle p = 0 soll also überhaupt keine derartige algebraische Be-
ziehung bestehen, für p f 0 wenigstens keine, in der die ßv höchstens mit der
(p —l)-ten Potenz auftreten.
2) Cf. H. Lebesgue : Sur les transformations ponctuelles transformant les
plans en plans. Atti Ac. Torino 1906/7. G. Hamel: Math. Annalen 60 p. 459.
E.Zermelo: Math. Annalen 75 (1914) p.434ss. E. Noether: Math. Annalen Bd. 77
(1916) p. 536ss. E. Kamke: J. D. M.V. Bd. 36 (1927) p. 149/50.
2. im Falle die Charakteristik p £ 0 ist, die p-ten Potensen aller
Elemente aus Ä in K enthalten sind,
d. h. wegen VI a, dann und nur dann, wenn jedes nicht in K ent-
haltene Element aus A in Hinsicht auf K quasitranszendent ist.
A. Die Notwendigkeit der Bedingungen 1. und 2. folgt aus Zu-
satz 1 des Satz 1 und VI.
B. Unter einer Basis von A in bezug auf K sei ein Elemente-
system {ßv} aus A verstanden, so daß
1. zwischen keiner endlichen Zahl von ßv eine algebraische1) Be-
ziehung mit Koeffizienten aus K besteht,
2. die Elemente von A in Hinsicht auf K(jßvf) sämtlich alge-
braisch sind; für p 4 0 ist wegen Via also ^4 = V ({/S^}).
Die Existenz einer solchen Basis zeigt man in üblicherweise2);
es ist ja ß0 quasitranszendent in Hinsicht auf K (jßv}0'), wenn (ßjjp
irgendein ß0 nicht enthaltendes Teilsystem der ßv ist. Für den Fall
p f 0 berücksichtige man r • q * 0 mod p, wenn r ± 0 mod p und
± 0 mod p sowie Steinitz 1. c. p. 200 Satz 2, da ja 2. erfüllt ist. Es
sind jetzt zwei Fälle zu unterscheiden:
Br [ßv] ist ein endliches System. 1 < r <. w.
Dann bilden wir die folgende Körperfolge: J.0 = 7l, Av = Av_1(ßv) bis
zur Erschöpfung der ßv, die n. V. nach endlich vielen Schritten ein-
tritt. Da in K auf jeden Fall allein die Null integrabel ist (wegen I),
so ist Satz 2 bei der Bildung von Ax anwendbar, da ja n.V. ßx in Hin-
sicht auf Aa quasitranszendent ist; werde also Ax auf Grund des Satz 2
zu einem DK gemacht mit K als CK. Sei weiter Av aus Av_x auf
Grund des Satz 2 zu einem DK mit K als CK gemacht für r<7
Dann gibt es in Ai nach Satz 4,2 notwendig nichtintegrable Elemente
und Satz 2 ist auf Ai+1 zur Bildung aus Ai anwendbar.
ist also in diesem Falle zu einem DK gemacht.
B2. [ßß\ sei ein unendliches System. — Hier ist das ad BT
benutzte Verfahren nicht anwendbar, weil bei einem Limes über un-
endlich viele Adjunktionen von ßv die durch Satz 4,2 aufgewiesenen
0 Im Falle p = 0 soll also überhaupt keine derartige algebraische Be-
ziehung bestehen, für p f 0 wenigstens keine, in der die ßv höchstens mit der
(p —l)-ten Potenz auftreten.
2) Cf. H. Lebesgue : Sur les transformations ponctuelles transformant les
plans en plans. Atti Ac. Torino 1906/7. G. Hamel: Math. Annalen 60 p. 459.
E.Zermelo: Math. Annalen 75 (1914) p.434ss. E. Noether: Math. Annalen Bd. 77
(1916) p. 536ss. E. Kamke: J. D. M.V. Bd. 36 (1927) p. 149/50.