Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Algebraische Theorie der differentiierbaren Funktionenkörper I. 27

Da weiter n. V. die Pi(ß) von ßm frei sind, und da die ß eine
Basis bilden, müssen die Gl.
Pi(ß) = 0 für i =1, ..n

erfüllt sein, d. h. s wäre von ßm frei im Widerspruch mit unserer An-
nahme.

Sei weiter p = 0.

Dann läßt sich jedes Element aus K({ßßß) als rationale Funktion
von je endlich vielen ßv mit Koeffizienten aus K, d. h. als Quotient
zweier Polynome in den ßv darstellen.

ßv

Sei s -


wo Z(ß) und teilerfremde Polynome in den

sind, und sei s' = 0.

Unter den wirklich auftretenden ßp muß es eines: ßm mit maxi-
malem Index geben; sei, nach Potenzen von ßm entwickelt,

n
i=0

wo die Zitß'), Ni(ß) nur ßv mit v m wirklich enthalten. Es ist:

1 f r 2 n n 1
*’=w iLW) 'Miß"1ZM ~ iß™1Ni(ß) J ^+i+j ’

wo Pßß} ein Polynom in ßv mit v m -j-1 und Koeffizienten aus K.
ist; da s' = 0 ist, ist auch der Ausdruck in der geschweiften Klammer
= 0; da die ßv eine Basis bilden, muß der Faktor von ßm_l^1 ver-
schwinden, da er wie R(ß') von ßm+1 frei ist; es ist also:

(5 c)





0.

Der Koeffizient von ßn+z~1 ist:
1 m
(5a) zNn(ß)ZM- = 0 *);
da Nn(ß) =f 0 und Zz(ß) 0, muß n = z sein.

Da die ßv eine Basis bilden.