Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Algebraische Theorie der differentiierbaren Funktionenkörper I. 29
woraus aber:
Nn
z(ß) __ zm
Nn(ßy
folgte, d. h. s wäre frei von ßm im Widerspruch mit unserer Annahme.
Also ist auch in diesem Falle K({ßv}) ein DK mit K als CK.
Unser Satz wird bewiesen sein, wenn der folgende Hilfssatz
bewiesen ist:
ist A ein DK mit K als CK und B eine algebraische (endliche
oder unendliche) Erweiterung von A, die der Bedingung 1. des
Satzes 5 genügt (wegen Via ist ja p=ü), dann ist es auf eine
und nur auf eine Weise möglich, B zu einem A umfassenden DK
mit K als CK zu machen.
Daß dies auf höchstens eine Weise möglich ist, folgt aus Satz li;
daß dies auch auf wenigstens eine Weise möglich ist, wird durch trans-
finite Induktion gezeigt:
1. A0 = A.
2. Sei v nicht Limeszahl und konstruiert; sei a„ das in
einer Wohlordnung von B erste nicht in Av_± enthaltene Element;
Av = (aß.
3. Ist v Limeszahl und Au für /z bereits konstruiert, so ist
Av Vereinigungsmenge und also auch Vereinigungskörper der A^ mit
ja v.
4. Ao = B für das erste o, so daß 2. nicht mehr anwendbar ist.
Da ril0 ein K umfassender DK ist, muß es ein erstes q derart
geben, daß A@ auf keine Weise zu einem Av mit v <jg umfassenden
DK mit K als CK zu machen ist; o kann keine Limeszahl sein,
da sonst dies schon für ein Hj, mit v q wegen 3. gelten würde;
ist aber q keine Limeszahl, so ist auf Satz 1 anwendbar, womit
unser Hilfssatz und damit unser Satz bewiesen ist.
Berücksichtigt man, daß beim Beweise B2 nur benutzt wurde, daß
E ein DK ist; bei Bp daß K ein nicht vollständig integrabler DK ist,
so folgt der
Zusatz: Sei A ein DK, K sein CK und ril3 eine Erweiterung von A,
die die Bedingungen 1. 2. des Satzes 5 hinsichtlich K erfüllt.
Ao läßt sich zzt einem A umfassenden DK mit K als CK
machen,
1. wenn die Basis von Ao hinsichtlich A unendlich ist,
2. wenn es in A Elemente gibt, die nicht in A integrabel sind, und
die Basis von A3 hinsichtlich A endlich ist.