Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baee:

Um zu sehen, welchen Grad von Allgemeinheit das beim Beweise
von Satz 5 eingeschlagene Verfahren der Konstruktion der Ableitung
hat, untersuchen wir die folgenden insbesondere durch B2 nahegelegten
Begriffe:
in einem DK heißt ein durch seine Indizes wohlgeordnetes Elemente-
system ß» (v = 1, • • • kann beliebige, auch transfinite Ordnungszahlen
durchlaufen) eine Kette, wenn für alle v mit Ausnahme des ev.
vorkommenden letzten: ßf = ßv + 1 gilt.
Eine Kette heiße endlos, wenn sie kein letztes Element besitzt,
in sich zusammenhängend, wenn sie höchstens ein Element
besitzt, das nicht Ableitung eines Elementes der Kette ist.
Man sieht, daß eine in sich zusammenhängende, endlose, aus un-
endlich vielen Elementen bestehende Kette vom Ordnungstypus m ist.
Satz 5 a: Sei A ein DK, K sein CK; dann gibt es wenigstens ein
System in sich zusammenhängender Ketten mit 1 < v < o, wo a
eine gewisse finite oder transfinite Ordnungszahl ist, so daß:
1. K({®V}) = A,
2. wenn das System aller mit 1 <r< p darstellt, K($£) = Ag
ein in A enthaltener DK mit K als CK ist [speziell ist:
3. wenn ff, unendlich ist, zwischen den Elementen von keine
algebraische Beziehung mit Koeffizienten aus Ag besteht1), d.h.
$0 ist Basis von Ag_^t in Hinsicht auf AQ;
4. wenn aus endlich vielen, etwa nQ Elementen besteht,
a) zwischen den (nß — 1) ersten von ihnen sicher keine alge-
braische Beziehung mit Koeffizienten aus Ag besteht1),
b) das erste Element von ftg Lösung wenigstens einer Ab-
leitungsgleichung in Ag ist, deren Ordnung < nQ + 1 ist; die
Ordnung ist dann und nur dann = nQ, wenn zwischen den
Elementen aus &g eine algebraische Beziehung mit Koeffi-
zienten aus Ag besteht1), sonst =nQ-fl, was für p f 0
wegen Via stets eintritt.
Dem Beweise legen wir eine Wohlordnung von A zugrunde und bilden:
CI. M° = K;
C 2. sei v— 1>1 keine Limeszahl und Av _1 = Av~2 (/?r_2) bereits
gebildet; liegt dann nicht in yl’-1, so sei

-) Im Sinne unserer Basisdefinition, p. 25.