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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0031
Algebraische Theorie der differentiierbaren Funktionenkörper I. 31
C 3. sei v nicht Limeszahl, Av~1 bereits gebildet und Fall C 2.
nicht vorliegend; sei das in der Wohlordnung von A erste Ele-
ment. das nicht in Av_1 enthalten ist; dann sei Av = Av'~1 {ßv_ß).
C 4. sei v Limeszahl und A!J‘ für alle bereits gebildet; dann
sei Ad’ die Vereinigungsmenge und also auch der Vereinigungskörper
der A"' mit /z v.
C 5. AT = A für das erste t derart, daß weder C 2 noch C 3 an-
wendbar ist.
Seien die der Giöße nach geordneten v, bei denen der Schritt
C 3. angewendet wird; wir setzen:
®8 = (/),) mit. £ur aIIe e'
Offenbar ist: = A? ($?).
Aus C 2. und der Bestimmung von vQ nach C 3. folgt, daß die
in sich zusammenhängende Ketten sind.
Sei weiter ßv algebraisch in Hinsicht auf Av; wegen C 2 enthält
A’’+1 = Al*'(/3r) auf jeden Fall die Ableitung aller Elemente aus AB; ist dann:
/V” + «71-1 ßßl 1 + ' ‘ ~ 0
die Gl. niedersten Grades, der ß^, in Av genügt, so folgt durch Ab-
leiten dieser GL:
ßvn 1 t ’ ■ ‘ -L «>
w ßpn 1 + • • • +
wo der Nenner von Null verschieden ist, da sonst die obige Gl. keine
Gl. niedersten Grades wäre, und wo ßvf also ein Element aus A^1
auf Grund der obigen Bemerkung ist.
In diesem Fall ist also ßv letztes Element einer Kette (ev. auch
einziges) und Av+1 ein DK.
Ist weiter Ag^ — A„ und besitzt ein letztes Element,
d. h. ßg, = {ßv} mit Vg — l<^v<Vg+i — 2, so ist ß\, _2 in Ag^ ent-
halten, d. h. ein algebraischer Ausdruck in den ßfaus $g mit Koef-
fizienten aus Aq; da aber in diesem Falle nur endlich viele ßv
umfassen kann, so ist jedes von ihnen eine mehrfache Ableitung des
ersten unter ihnen, d. h. ß'v^ = ßvQ+1 ist ein algebraischer
Ausdruck in den Ableitungen von ßv dem ersten Element von
Damit ist unser Satz vollständig bewiesen.
Man kann also jeden DK durch sukzessive Adjunktion un-
endlicher, endloser1') und solcher endlicher in sich zusammenhängender
*) Diese genügen keiner Ableitungsgleichung.
C 3. sei v nicht Limeszahl, Av~1 bereits gebildet und Fall C 2.
nicht vorliegend; sei das in der Wohlordnung von A erste Ele-
ment. das nicht in Av_1 enthalten ist; dann sei Av = Av'~1 {ßv_ß).
C 4. sei v Limeszahl und A!J‘ für alle bereits gebildet; dann
sei Ad’ die Vereinigungsmenge und also auch der Vereinigungskörper
der A"' mit /z v.
C 5. AT = A für das erste t derart, daß weder C 2 noch C 3 an-
wendbar ist.
Seien die der Giöße nach geordneten v, bei denen der Schritt
C 3. angewendet wird; wir setzen:
®8 = (/),) mit. £ur aIIe e'
Offenbar ist: = A? ($?).
Aus C 2. und der Bestimmung von vQ nach C 3. folgt, daß die
in sich zusammenhängende Ketten sind.
Sei weiter ßv algebraisch in Hinsicht auf Av; wegen C 2 enthält
A’’+1 = Al*'(/3r) auf jeden Fall die Ableitung aller Elemente aus AB; ist dann:
/V” + «71-1 ßßl 1 + ' ‘ ~ 0
die Gl. niedersten Grades, der ß^, in Av genügt, so folgt durch Ab-
leiten dieser GL:
ßvn 1 t ’ ■ ‘ -L «>
w ßpn 1 + • • • +
wo der Nenner von Null verschieden ist, da sonst die obige Gl. keine
Gl. niedersten Grades wäre, und wo ßvf also ein Element aus A^1
auf Grund der obigen Bemerkung ist.
In diesem Fall ist also ßv letztes Element einer Kette (ev. auch
einziges) und Av+1 ein DK.
Ist weiter Ag^ — A„ und besitzt ein letztes Element,
d. h. ßg, = {ßv} mit Vg — l<^v<Vg+i — 2, so ist ß\, _2 in Ag^ ent-
halten, d. h. ein algebraischer Ausdruck in den ßfaus $g mit Koef-
fizienten aus Aq; da aber in diesem Falle nur endlich viele ßv
umfassen kann, so ist jedes von ihnen eine mehrfache Ableitung des
ersten unter ihnen, d. h. ß'v^ = ßvQ+1 ist ein algebraischer
Ausdruck in den Ableitungen von ßv dem ersten Element von
Damit ist unser Satz vollständig bewiesen.
Man kann also jeden DK durch sukzessive Adjunktion un-
endlicher, endloser1') und solcher endlicher in sich zusammenhängender
*) Diese genügen keiner Ableitungsgleichung.