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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0032
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Reinhold Baer: Algebraische Theorie usw.
Ketten gewinnen, die Lösungen von Ableitungsgl. sind. — Ins-
besondere kann eine Lösung einer Ableitungsgl. stets durch Ad-
junktion einer endlichen Kette gewonnen werden.
§ 4. Existenz vollständig integrabler DK.
Satz 6: Sei A ein DK und K sein CK; dann gibt es wenigstens einen
DK A° mit CK K°, so daß A von A° als DK umfaßt wird und K
in K° enthalten ist (für p= 0 kann K° stets = K gewählt werden)
und jedes Element von A° in A° integrabel ist.
Der Beweis stützt sich wesentlich auf den folgenden Hilfssatz:
Unter den Voraussetzungen des Satzes 6 gibt es einen DK A' mit
CK K’, so daß alle Elemente von A in A' integrabel sind und
die übrigen Bedingungen des Satzes 6 erfüllt sind.
Wegen Satz 3 (insbes. S. 22 Anm, können wir annehmen, daß
alle Adjunktionen ohne Erweiterung des CK ausführbar sind, da
die im Falle p f 0 wegen Bedingung 2 des Satz 2 etwa notwendige
vor Ausführung der übrigen Adjunktionen vollzogen werden kann.
Wir ordnen die nichtintegrablen Elemente von A irgendwie
wohl; sei:
1- A„ = A,
2. sei v keine Limeszahl und Av_± bereits konstruiert; sei tv in
Hinsicht auf Av_t quasitranszendent und tvv in K enthalten (für p 4 0);
sei nv das in der Wohlordnung erste Element aus A, das auch in
Av_x nichtintegrabel ist; AV = AV_1 (tß) mit tß — nr,
3. ist v Limeszahl und Ap für p v bereits gebildet, so ist Av
der Vereinigung^-DK der A^ mit p v,
4. A' = Ao für das erste o derart, daß 2. nicht mehr ausführbar ist.
Auf Grund des Satz 2 folgt hieraus durch transfinite Induktion
der Hilfssatz.
Zum Beweise des Satzes 6 führt folgende Konstruktion:
1. Ao = A,
2. sei A^ für ganzzahliges z>0 bereits gebildet; A^ = A/, ein
nach dem H.-S. existenter DK, in dem alle Elemente aus A$ inte-
grabel sind.
3. A° = Aw, dem Vereinigungs - DK der A^.
Ist a jetzt irgendein Element aus A°, so ist es bereits in einem
Ai enthalten, d. h. in A^ integrabel; a’ = 0 aber dann und nur dann,
wenn a im CK enthalten ist.
Reinhold Baer: Algebraische Theorie usw.
Ketten gewinnen, die Lösungen von Ableitungsgl. sind. — Ins-
besondere kann eine Lösung einer Ableitungsgl. stets durch Ad-
junktion einer endlichen Kette gewonnen werden.
§ 4. Existenz vollständig integrabler DK.
Satz 6: Sei A ein DK und K sein CK; dann gibt es wenigstens einen
DK A° mit CK K°, so daß A von A° als DK umfaßt wird und K
in K° enthalten ist (für p= 0 kann K° stets = K gewählt werden)
und jedes Element von A° in A° integrabel ist.
Der Beweis stützt sich wesentlich auf den folgenden Hilfssatz:
Unter den Voraussetzungen des Satzes 6 gibt es einen DK A' mit
CK K’, so daß alle Elemente von A in A' integrabel sind und
die übrigen Bedingungen des Satzes 6 erfüllt sind.
Wegen Satz 3 (insbes. S. 22 Anm, können wir annehmen, daß
alle Adjunktionen ohne Erweiterung des CK ausführbar sind, da
die im Falle p f 0 wegen Bedingung 2 des Satz 2 etwa notwendige
vor Ausführung der übrigen Adjunktionen vollzogen werden kann.
Wir ordnen die nichtintegrablen Elemente von A irgendwie
wohl; sei:
1- A„ = A,
2. sei v keine Limeszahl und Av_± bereits konstruiert; sei tv in
Hinsicht auf Av_t quasitranszendent und tvv in K enthalten (für p 4 0);
sei nv das in der Wohlordnung erste Element aus A, das auch in
Av_x nichtintegrabel ist; AV = AV_1 (tß) mit tß — nr,
3. ist v Limeszahl und Ap für p v bereits gebildet, so ist Av
der Vereinigung^-DK der A^ mit p v,
4. A' = Ao für das erste o derart, daß 2. nicht mehr ausführbar ist.
Auf Grund des Satz 2 folgt hieraus durch transfinite Induktion
der Hilfssatz.
Zum Beweise des Satzes 6 führt folgende Konstruktion:
1. Ao = A,
2. sei A^ für ganzzahliges z>0 bereits gebildet; A^ = A/, ein
nach dem H.-S. existenter DK, in dem alle Elemente aus A$ inte-
grabel sind.
3. A° = Aw, dem Vereinigungs - DK der A^.
Ist a jetzt irgendein Element aus A°, so ist es bereits in einem
Ai enthalten, d. h. in A^ integrabel; a’ = 0 aber dann und nur dann,
wenn a im CK enthalten ist.