Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes. 57
fremd sind, nur eine Ungleichung von gleicher Allgemeinheit, nämlich
(92, y>) i ■ x.
Auch diese Relation kann nach der vorigen induktiven Methode leicht
bewiesen werden.
§ 13. Resultantenmultiplizität bei Lionville-Netto.
Um die Multiplizität einer gemeinsamen Nullstelle von zwei teiler-
fremden Polynomen <p(x,y), xp(x,y) zu erklären, führt Netto1), nach
dem Vorgang von Liouville, eine neue Variable z ein durch
z = ux^-vy
mit unbestimmten u und v, dann zerfällt die bei Elimination von y
entstehende Resultante von
, ( z — vy N . ( z — vy
<p =(p y),w =y> y
in lineare Faktoren derart, daß
W', y>') = II(z - u^i - vy^
%
ist. Während aber bei der Mertens sehen Resultante (§ 8) immer genau
m ■ n lineare Faktoren vorhanden sind, ist hier m n nur die obere Grenze
für die Anzahl der linearen Faktoren. Als Multiplizität bezeichnet Netto
diejenige Zahl, welche angibt, wie oft ein bestimmter Faktor — vy)
in dem Gebilde ^(92',^') auftritt. Von diesen so definierten Multi-
plizitätszahlen kann man, ganz analog wie in §8, nachweisen, daß
sie die Postulate I', II', III', IV' erfüllen. III' ist erfüllt wegen des
sogenannten Produktsatzes für Resultanten, der auch für die Netto sehe
Resultante richtig bleibt, und IV' wegen der Tatsache, daß ^(92',^'),
bis auf eine multiplikative Konstante, ungeändert bleibt, wenn das Po-
lynompaar 92, y ersetzt wird durch das andere: 92 + ^,^. Es ist aber
zu beachten, daß die letztere Eigenschaft bei gewöhnlichen Resultanten,
d.h. solchen, deren Aufstellung die LiouviLLEsche Transformation nicht
vorausgeht, nicht immer vorhanden ist, daß also die Liouville sehe
Transformation es ist, die bewirkt, daß unser 4. Postulat erfüllt ist,
und somit Nettos Resultantenmultiplizität mit unserer axiomatisch
definierten Multiplizität übereinstimmt.

’) E. Netto, Höhere Algebra II. Band S. 38 und S. 76.