Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen
zum Noetherschen Fundamentalsatz der algebraischen
Funktionen.1)
Von Heinrich Kapferer in Freiburg i. Br.
Das Hauptergebnis des Folgenden ist eine Verschärfung des
sog. NoETHERschen Fundamentalsatzes in der Form von not-
wendigen und hinreichenden Multiplizitätsbedingungen. Dieselbe ge-
stattet folgende fundamentale Aufgabe zu lösen:
Von drei vorgegebenen Polynomen K, cp, xp in x, y bzw. in x, y, z
im homogenen Fall — vorausgesetzt, daß die gemeinsamen Punkte von
cp und xp bekannt und letztere Polynome unter sich teilerfremd sind —
festzustellen, ob die Kongruenz
Zf = o (cp, xp')
erfüllt ist oder nicht, d. h. auch, ob zwei weitere Polynome 2 und y
existieren derart, daß die Gleichung
K = 2 • cp -j- y xp
eine Identität in x, y bzw. in x, y, z wird.
Die Fragestellung dieser Aufgabe ist also genau diejenige, welche
Max Noether2) bei Aufstellung seines Satzes ursprünglich im Auge
hatte (vgl. die Einleitung a. a. O.).
Zur richtigen Beurteilung ist es zunächst nötig, den Noether sehen
Satz selbst in einer präzisen Weise auszusprechen. Wir tun dies in
Anlehnung an die neuerdings übliche idealtheoretische Auffassung3)
des Satzes, jedoch ohne von idealtheoretischen Begriffen und Sätzen
Gebrauch zu machen (dies soll auch im folgenden nicht geschehen,
nur in der Bezeichnung lehnen wir uns an die Idealtheorie an), und
x) Ein übersichtliches Referat über die Hauptergebnisse der Abhandlung
findet sich, unter dem gleichen Titel, und mit einem Zusatz, gemeinsam mit
E. Noether in Göttingen, in den Mathern. Annalen Bd. 97, Heft 3.
2) Max Noether „Über einen Satz aus der Theorie der algebraischen Funk-
tionen“. Mathern. Annalen, Bd. 6, 1872 und Bd. 40, 1892.
3) Vgl. etwa B. L. van der Waerden „Zur Nullstellentheorie der Polynom-
ideale“, wo auch n-dimensionale Verallgemeinerungen des NoETHERSchen Satzes
zu finden sind. Mathern. Annalen 96, 1926.