Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinbich Kapferek:

allgemeinen von t verschieden sein. Definiert man nach Analogie
von (11) die entsprechende Polynome K\, so folgt: Die
Die t Ungleichungen des Hauptsatzes (21) dürfen durch die mit ihnen
äquivalenten t’ Ungleichungen
ersetzt werden.

Die Anwendbarkeit des Hauptsatzes (21) wird ferner noch durch folgende
Bemerkung erleichtert:
Wenn Ai EE o (q) und Kx — Kx T ist, wo T (o, o) o, so ist nach Hilfs-
satz 4 schon Ai = o (q). Man darf also auch im Hauptsatz (Ai) (y,)
ersetzen durch (A) - > (<71). Ferner wird man bei der Aufstellung des
(28) Systems (11) gleich mit Ai beginnen; ebenso wird man mit A2, A3 . . .
verfahren, indem man diese Polynome jeweils von ihren überflüssigen
Faktoren befreit, d. h. von solchen, die gar nicht im Punkte x = o, y = o
verschwinden.

Übertragung des Hauptsatzes auf homogene (ternäre) Polynome <p,

Ich beweise zunächst folgenden Satz:
Für das Bestehen der homogenen (ternären) Kongruenz
y,z) = o typ (®, y, z), (®, y, s))

(29)

ist das Bestehen der nicht homogenen Kongruenz
K(x, y,V) = O (yp (x, y, 1), V (#> y, 1))
hinreichend [daß letztere auch notwendig, ist trivial!),
falls die beiden ternären Polynome (p, ip keinen gemein-
samen Punkt der Art

besitzen.

x: y : z = a : ß : o

Beweis: Durch Homogenisierung kann man aus der nicht
homogenen Kongruenz zunächst nur schließen:
(30) z • K(x,y, z~) = 2. • <p (x, y, z) ' ip (x, y, z).
Falls schon v = o ist, so ist nichts mehr zu beweisen. Falls aber
f o, so setze man z — o in der Identität (30), so daß
0=2 (a?, y, o)' <p (x, y, d) + (x, y, o) • V7 (a?, y, o).
Infolge der Voraussetzung, daß niemals ein Punkt x: y: z = a : ß : o
gemeinsamer Punkt von <p und ip sein soll, sind die binären
Formen cp (x, y, o), V (x, y, o) teilerfremd; daher folgt weiter
2 (x, y, o) = o (yp (x, y, o))
2 (x, y, z) = O (z, ip(x, y, zß)
Benützt man diese Eigenschaft von 2, so folgt aus (30)
Z1' • Kpxyz) == o(z • (p (xyz~), y> (xyzß).