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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0079
Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen.
79
Damit ist bewiesen:
Im. vorliegenden Spezialfall ist g-^^t die notwendige und
hinreichende Bedingung für K = o (<p, xp, p°).
Die Kombination der Sätze (35) und (37) liefert folgender Satz:
(37) {
(38)
Falls x = o, y — o einfacher Punkt von xp, und K teiler-
fremd zu xp ist, so ist die Bedingung
(K, y) (yp, y>)
notwendig und hinreichend für die Kongruenz
K = 0 (cp, xp, p°).
Die Teilerfremdheit von K zu xp braucht keine absolute zu sein;
denn nach § 9 der vorhergehenden Abhandlung behält das Symbol
(M, B) alle bisher benützten Eigenschaften auch dann noch, wenn A
und B gemeinsame Teiler besitzen, jedoch darf es kein solcher sein, der
in dem betreffenden Punkt, hier im Punkte x = o, y = o, verschwindet.
Verbindet man (38) mit Satz(lb), so erhalten wir einen für An-
wendungen verschiedener Art besonders geeigneten Satz1):
(39)
Wenn sämtliche Schnittpunkte von cp = o, xp = o
wenigstens in xp einfache Punkte sind, so ist —
K teilerfremd zu xp vorausgesetzt — für die Kon-
gruenz
I\ = o (<p, ip)
notwendig und hinreichend, daß K in allen diesen
Punkten verschwindet, aber so, daß die Schnitt-
punktmultiplizität im Kurvenpaar K=o, xp = o je-
weils mindestens so groß ist als im Kurvenpaar
(p = o, xp = o.
Der Satz (39) ist noch aus einem besonderen Grund bemerkens-
wert. Die Bedingung (K, xp) > (92, xp). ist eine solche, y die ohne
Resultante und ohne irgendeine vorherige Transformation und auch
ohne Formel (24) rein algebraisch nachprüfbar ist. >Dazu er-
innere ich an folgenden Satz, den ich 1923 aufgestellt2) habe:
x) Der Satz (39) ist, abgesehen von dem aus einer früheren Abhandlung
zitierten Satz (40), derjenige aus vorliegender Abhandlung, den ich zeitlich
zuerst aufgestellt hatte. Alles Übrige ist entstanden aus den vergeblichen Be-
mühungen, eben diesen Satz (39) zu verallgemeinern. Vergeblich sage ich des-
halb, weil der Hauptsatz (21) noch lange nicht den Grad von Eleganz besitzt
wie Satz (39) .in Verbindung mit Satz (40)..
2) H. Kapferer, „Über die Multiplizität der Schnittpunkte von zwei alge-
braischen Kurven“. Jahresb. der D.M.V. 32. Bd. 1923.
79
Damit ist bewiesen:
Im. vorliegenden Spezialfall ist g-^^t die notwendige und
hinreichende Bedingung für K = o (<p, xp, p°).
Die Kombination der Sätze (35) und (37) liefert folgender Satz:
(37) {
(38)
Falls x = o, y — o einfacher Punkt von xp, und K teiler-
fremd zu xp ist, so ist die Bedingung
(K, y) (yp, y>)
notwendig und hinreichend für die Kongruenz
K = 0 (cp, xp, p°).
Die Teilerfremdheit von K zu xp braucht keine absolute zu sein;
denn nach § 9 der vorhergehenden Abhandlung behält das Symbol
(M, B) alle bisher benützten Eigenschaften auch dann noch, wenn A
und B gemeinsame Teiler besitzen, jedoch darf es kein solcher sein, der
in dem betreffenden Punkt, hier im Punkte x = o, y = o, verschwindet.
Verbindet man (38) mit Satz(lb), so erhalten wir einen für An-
wendungen verschiedener Art besonders geeigneten Satz1):
(39)
Wenn sämtliche Schnittpunkte von cp = o, xp = o
wenigstens in xp einfache Punkte sind, so ist —
K teilerfremd zu xp vorausgesetzt — für die Kon-
gruenz
I\ = o (<p, ip)
notwendig und hinreichend, daß K in allen diesen
Punkten verschwindet, aber so, daß die Schnitt-
punktmultiplizität im Kurvenpaar K=o, xp = o je-
weils mindestens so groß ist als im Kurvenpaar
(p = o, xp = o.
Der Satz (39) ist noch aus einem besonderen Grund bemerkens-
wert. Die Bedingung (K, xp) > (92, xp). ist eine solche, y die ohne
Resultante und ohne irgendeine vorherige Transformation und auch
ohne Formel (24) rein algebraisch nachprüfbar ist. >Dazu er-
innere ich an folgenden Satz, den ich 1923 aufgestellt2) habe:
x) Der Satz (39) ist, abgesehen von dem aus einer früheren Abhandlung
zitierten Satz (40), derjenige aus vorliegender Abhandlung, den ich zeitlich
zuerst aufgestellt hatte. Alles Übrige ist entstanden aus den vergeblichen Be-
mühungen, eben diesen Satz (39) zu verallgemeinern. Vergeblich sage ich des-
halb, weil der Hauptsatz (21) noch lange nicht den Grad von Eleganz besitzt
wie Satz (39) .in Verbindung mit Satz (40)..
2) H. Kapferer, „Über die Multiplizität der Schnittpunkte von zwei alge-
braischen Kurven“. Jahresb. der D.M.V. 32. Bd. 1923.