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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0083
Idealtheorie der Potenzreihen einer Variabein mit ganzen
algebraischen Zahlkoeffizienten.l)
Von Wolfgang Krüll in Freiburg i. Br.
In der Arbeit: Zur Arithmetik der Potenzreihen mit ganzzahligen
Koeffizienten2) hat Herr J. Schur die Idealtheorie im Bereich der Potenz-
reihen einer Variabeln mit ganzen Koeffizienten aus einem endlichen
algebraischen Zahlkörper entwickelt. Die Hauptschwierigkeiten, die
er gegenüber früheren Arbeiten zu überwinden hatte, liegen darin, daß
bei ihm nicht jedes Ideal des Koeffizientenrings Hauptideal ist. In
dieser Note sollen die ScHURschen Ergebnisse neu abgeleitet und in
den Zusammenhang der allgemeinen Idealtheorie eingeordnet werden.
Es wird gezeigt, daß sich die Behandlung des ScHURschen Falles un-
mittelbar zurückführen läßt auf das Studium von solchen Potenzreihen-
bereichen, bei denen der Koeffizientenring nur Hauptideale enthält. —
Im folgenden wird Kenntnis der Grundlagen der allgemeinen Ideal-
theorie vorausgesetzt, insbesondere benutzen wir neben dem Begriff des
Primideals den des Primärideals3). Ist a durch b teilbar, so schreiben
wir a>b, fi<a; für den Idealquotienten benutzen wir die übliche
Schreibweise a: 6.
Ist der Ring Df ein Teilbereich des Ringes S, ar bzw. ag ein bei.
Ideal aus 9t bzw. <S, so verstehen wir unter dem zu ar gehörigen
„Erweiterungsideal a„-S“ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache
aller der Ideale fis. aus <5, die sämtliche Elemente von ar enthalten,
unter dem zu as gehörigen „Verengungsideal as'9t“ den größten
gemeinschaftlichen Teiler aller der Ideale br aus 91, für die
ist.4) "Wir haben: (a„* S)~9i<^ar; (<V91) • <5 > as. Gelten stets die
0 Die hier mitgeteilten Entwicklungen waren mir in allen wesentlichen
Zügen bereits vor zwei Jahren bekannt. Zur Veröffentlichung wurde ich ange-
regt durch die allgemeinen Untersuchungen, die Herr H. Geell in der Arbeit:
„Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe“ (Math. Annah 97 (1926)
S. 490—523) angestellt hat.
2) Math. Zeitschrift 12 (1922) S. 95—113. In Zukunft kurz mit „Sch.“ zitiert«
3) Die in Betracht kommenden Begriffe finden sich etwa bei E. Noether:
„Idealtheorie in Ringbereichen“, Math. Annah 83 (1921) S. 23—67.
4) Die Bezeichnungen „Erweiterungs-“ bzw. „Verengungsideal“ benutzen
wir im Anschluß an Herrn Grell. • <5 besteht aus der Gesamtheit aller end-
6*
algebraischen Zahlkoeffizienten.l)
Von Wolfgang Krüll in Freiburg i. Br.
In der Arbeit: Zur Arithmetik der Potenzreihen mit ganzzahligen
Koeffizienten2) hat Herr J. Schur die Idealtheorie im Bereich der Potenz-
reihen einer Variabeln mit ganzen Koeffizienten aus einem endlichen
algebraischen Zahlkörper entwickelt. Die Hauptschwierigkeiten, die
er gegenüber früheren Arbeiten zu überwinden hatte, liegen darin, daß
bei ihm nicht jedes Ideal des Koeffizientenrings Hauptideal ist. In
dieser Note sollen die ScHURschen Ergebnisse neu abgeleitet und in
den Zusammenhang der allgemeinen Idealtheorie eingeordnet werden.
Es wird gezeigt, daß sich die Behandlung des ScHURschen Falles un-
mittelbar zurückführen läßt auf das Studium von solchen Potenzreihen-
bereichen, bei denen der Koeffizientenring nur Hauptideale enthält. —
Im folgenden wird Kenntnis der Grundlagen der allgemeinen Ideal-
theorie vorausgesetzt, insbesondere benutzen wir neben dem Begriff des
Primideals den des Primärideals3). Ist a durch b teilbar, so schreiben
wir a>b, fi<a; für den Idealquotienten benutzen wir die übliche
Schreibweise a: 6.
Ist der Ring Df ein Teilbereich des Ringes S, ar bzw. ag ein bei.
Ideal aus 9t bzw. <S, so verstehen wir unter dem zu ar gehörigen
„Erweiterungsideal a„-S“ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache
aller der Ideale fis. aus <5, die sämtliche Elemente von ar enthalten,
unter dem zu as gehörigen „Verengungsideal as'9t“ den größten
gemeinschaftlichen Teiler aller der Ideale br aus 91, für die
ist.4) "Wir haben: (a„* S)~9i<^ar; (<V91) • <5 > as. Gelten stets die
0 Die hier mitgeteilten Entwicklungen waren mir in allen wesentlichen
Zügen bereits vor zwei Jahren bekannt. Zur Veröffentlichung wurde ich ange-
regt durch die allgemeinen Untersuchungen, die Herr H. Geell in der Arbeit:
„Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe“ (Math. Annah 97 (1926)
S. 490—523) angestellt hat.
2) Math. Zeitschrift 12 (1922) S. 95—113. In Zukunft kurz mit „Sch.“ zitiert«
3) Die in Betracht kommenden Begriffe finden sich etwa bei E. Noether:
„Idealtheorie in Ringbereichen“, Math. Annah 83 (1921) S. 23—67.
4) Die Bezeichnungen „Erweiterungs-“ bzw. „Verengungsideal“ benutzen
wir im Anschluß an Herrn Grell. • <5 besteht aus der Gesamtheit aller end-
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