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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0086
86
Wolfgang Krull:
kation mit einer Einheit aus in eine ganzzahlige
Potenzreihe 01 verwandelt werden, deren Anfangs-
glied zu einem bei. durch p unteilbaren Ideal q teiler-
fremd ist.
Beweis durch Anwendung von Hilfssatz 1 für Q — 0. Man kann
ja hier für ein volles Restsystem von nach Qp0) = pi‘3lp die Elemente
eines vollen Restsystems von fR nach pf wählen, und es gibt stets ein
ganzzahliges, zu q teilerfremdes Basiselement von pi,9fp.
Hilfssatz 3.1) Das rte Leitideal br von b = (ä’ist
gleich der höchsten Potenz von p, die im rten Leit-
ideal a,. von ä aufgeht, oder gleich (0), je nachdem
ob ar I (0) oder ar=(0).
Daß aus ar — (0) auch br = (0) folgt, bedarf keines Beweises. —
Ist ar durch aber nicht durch p^ 4-1 teilbar, so schließt man
leicht aus Hilfssatz 2, daß 'br^pi, also f)r = p&; k <i ist. Es
m
muß dann eine Gleichung P^Qi- Pi = xr ■ R bestehen, bei der die Qi
bzw. Potenzreihen aus bzw. d sind, und R eine ganzzahlige
Potenzreihe mit genau durch p& teilbarem Anfangsglied darstellt; setzen
/ m
wir Qi = Sjlik-rf + • Qi = en Qc) + x^1 • Q\; . Z qi {x)-Pi = xr • R,
so besitzt R dasselbe Anfangsglied wie R. Wir bestimmen nun ein
ganzes, zu p teilerfremdes Element a so, daß die Produkte a-q^ sämt-
lich ganzzahlig ausfailen; dann stellt xr-(aRQ = (a-q^xy)-P-b eine
i=l
Potenzreihe aus ü dar, und es ist das Anfangsglied von a'R' einer-
seits durch ur, andrerseits genau durch pÄ teilbar. Daraus folgt br -
p^>ph also br = ph
Satz 2. Der Bereich aller Ideale aus ist äquivalent
zu dem Bereich aller der Ideale aus deren von (0)
verschiedene Leitideale Potenzen von p sind.
Aus Hilfssatz 3 und Satz 1 erkennt man, daß die von (0) ver-
schiedenen Leitideale von (5 • Potenzen von p sind, und daß
ein Ideal b aus stets der Gleichung (b ’ = b genügt, falls seine
Leitideale sämtlich die Gestalt (0) oder pfc besitzen. — Daß jedes Ideal
5 aus eine in gelegene Basis hat, daß also immer = S
ist, ergibt sich aus Hilfssatz 2.
Untersuchungen von Herrn Grell nicht überflüssig gemacht, denn ifp ist im
Verhältnis zu kein „Quotientenring“ im GRELLschen Sinne.
Q S. Anm. 2, S. 85.
Wolfgang Krull:
kation mit einer Einheit aus in eine ganzzahlige
Potenzreihe 01 verwandelt werden, deren Anfangs-
glied zu einem bei. durch p unteilbaren Ideal q teiler-
fremd ist.
Beweis durch Anwendung von Hilfssatz 1 für Q — 0. Man kann
ja hier für ein volles Restsystem von nach Qp0) = pi‘3lp die Elemente
eines vollen Restsystems von fR nach pf wählen, und es gibt stets ein
ganzzahliges, zu q teilerfremdes Basiselement von pi,9fp.
Hilfssatz 3.1) Das rte Leitideal br von b = (ä’ist
gleich der höchsten Potenz von p, die im rten Leit-
ideal a,. von ä aufgeht, oder gleich (0), je nachdem
ob ar I (0) oder ar=(0).
Daß aus ar — (0) auch br = (0) folgt, bedarf keines Beweises. —
Ist ar durch aber nicht durch p^ 4-1 teilbar, so schließt man
leicht aus Hilfssatz 2, daß 'br^pi, also f)r = p&; k <i ist. Es
m
muß dann eine Gleichung P^Qi- Pi = xr ■ R bestehen, bei der die Qi
bzw. Potenzreihen aus bzw. d sind, und R eine ganzzahlige
Potenzreihe mit genau durch p& teilbarem Anfangsglied darstellt; setzen
/ m
wir Qi = Sjlik-rf + • Qi = en Qc) + x^1 • Q\; . Z qi {x)-Pi = xr • R,
so besitzt R dasselbe Anfangsglied wie R. Wir bestimmen nun ein
ganzes, zu p teilerfremdes Element a so, daß die Produkte a-q^ sämt-
lich ganzzahlig ausfailen; dann stellt xr-(aRQ = (a-q^xy)-P-b eine
i=l
Potenzreihe aus ü dar, und es ist das Anfangsglied von a'R' einer-
seits durch ur, andrerseits genau durch pÄ teilbar. Daraus folgt br -
p^>ph also br = ph
Satz 2. Der Bereich aller Ideale aus ist äquivalent
zu dem Bereich aller der Ideale aus deren von (0)
verschiedene Leitideale Potenzen von p sind.
Aus Hilfssatz 3 und Satz 1 erkennt man, daß die von (0) ver-
schiedenen Leitideale von (5 • Potenzen von p sind, und daß
ein Ideal b aus stets der Gleichung (b ’ = b genügt, falls seine
Leitideale sämtlich die Gestalt (0) oder pfc besitzen. — Daß jedes Ideal
5 aus eine in gelegene Basis hat, daß also immer = S
ist, ergibt sich aus Hilfssatz 2.
Untersuchungen von Herrn Grell nicht überflüssig gemacht, denn ifp ist im
Verhältnis zu kein „Quotientenring“ im GRELLschen Sinne.
Q S. Anm. 2, S. 85.