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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0087
Idealtheorie der Potenzreihen einer Variabein usw.
87
T.
Satz 3. Das Ideal ä aus-iß mit den Leitidealen J/p;.r
(ä?0 > 0, kr > 0) besitzt eine eindeutig bestimmte Pro-
duktzerlegung ä = fi • f2 fm, bei der die paar-
weise teilerfremd sind, und p^°, p*1, p^2, .... die Leit-
ideale von fj. darstellen.
Wir setzen = (ä • *ßp /^ß. Nach Hilfssatz 3 sind die Leitideale
von f/. Potenzen von p&; daraus folgt, daß die paarweise teiler-
fremd sind, und daß mithin ihr Produkt gleich ihrem kleinsten ge-
meinschaftlichen Vielfachen, also ein Teiler von ä ist. Andrerseits
sieht man sofort, daß das rte Leitideal von fi -f2 • .... durch das rte
Leitideal von a teilbar ist. Nach Satz 1 muß daher die Gleichung
ä = . |2 im gelten. Die Eindeutigkeit der gefundenen Produkt-
zerlegung ergibt sich aus der Tatsache, daß die teilerfremd irre-
duzibel, d. h. nicht als Produkt teilerfremder echter Teiler darstellbar
sind.
§ 2.
Die Zerlegungssätze in ^ßp und
Ein Primideal (aus 5ßp oder *ß) heißt „Primideal erster
Stufe“, wenn es außer dem Einheitsideal ö keinen echten Teiler be-
sitzt; es heißt „Primideal zweiter Stufe“, wenn von 6 ver-
schiedene echte Teiler vorhanden sind, unter denen aber an Primidealen
nur solche erster Stufe vorkommen.
Satz 4. In 5ßp gibt es nur ein einziges Primideal erster
Stufe p, das aus der Gesamtheit derjenigen Elemente
von ;ßp besteht, die keine Einheiten sind. — Ist p • Jcp
so ist p = (^>,x~).
Der Beweis folgt unmittelbar aus der besonderen Natur des Ko-
effizientenrings 3cP.
Hilfssatz 4. Ist q ein zup gehöriges Primärideal, p ein
Hauptideal, so folgt aus stets äj>p.
Ein zu p gehöriges Primärideal enthält als Teiler einer Potenz
von p sicher ein von 0 verschiedenes Element a aus 3rp und eine
Potenz von x, etwa xr. Aus den Gleichungen (ct)-äj>p, (ä7) -äj>p
folgt aber sofort ä>p.
Satz 5. Jedes Ideal ä aus 5ßp läßt sich eindeutig als
Produkt eines Hauptideals und eines zu p gehörigen
Primärideals darstellen.
Wir bezeichnen mit (x^ die höchste in a aufgehende Potenz von
(x), mit n den Index von ä, mit p das reguläre Ideal (tf/• (a: (£)w).
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T.
Satz 3. Das Ideal ä aus-iß mit den Leitidealen J/p;.r
(ä?0 > 0, kr > 0) besitzt eine eindeutig bestimmte Pro-
duktzerlegung ä = fi • f2 fm, bei der die paar-
weise teilerfremd sind, und p^°, p*1, p^2, .... die Leit-
ideale von fj. darstellen.
Wir setzen = (ä • *ßp /^ß. Nach Hilfssatz 3 sind die Leitideale
von f/. Potenzen von p&; daraus folgt, daß die paarweise teiler-
fremd sind, und daß mithin ihr Produkt gleich ihrem kleinsten ge-
meinschaftlichen Vielfachen, also ein Teiler von ä ist. Andrerseits
sieht man sofort, daß das rte Leitideal von fi -f2 • .... durch das rte
Leitideal von a teilbar ist. Nach Satz 1 muß daher die Gleichung
ä = . |2 im gelten. Die Eindeutigkeit der gefundenen Produkt-
zerlegung ergibt sich aus der Tatsache, daß die teilerfremd irre-
duzibel, d. h. nicht als Produkt teilerfremder echter Teiler darstellbar
sind.
§ 2.
Die Zerlegungssätze in ^ßp und
Ein Primideal (aus 5ßp oder *ß) heißt „Primideal erster
Stufe“, wenn es außer dem Einheitsideal ö keinen echten Teiler be-
sitzt; es heißt „Primideal zweiter Stufe“, wenn von 6 ver-
schiedene echte Teiler vorhanden sind, unter denen aber an Primidealen
nur solche erster Stufe vorkommen.
Satz 4. In 5ßp gibt es nur ein einziges Primideal erster
Stufe p, das aus der Gesamtheit derjenigen Elemente
von ;ßp besteht, die keine Einheiten sind. — Ist p • Jcp
so ist p = (^>,x~).
Der Beweis folgt unmittelbar aus der besonderen Natur des Ko-
effizientenrings 3cP.
Hilfssatz 4. Ist q ein zup gehöriges Primärideal, p ein
Hauptideal, so folgt aus stets äj>p.
Ein zu p gehöriges Primärideal enthält als Teiler einer Potenz
von p sicher ein von 0 verschiedenes Element a aus 3rp und eine
Potenz von x, etwa xr. Aus den Gleichungen (ct)-äj>p, (ä7) -äj>p
folgt aber sofort ä>p.
Satz 5. Jedes Ideal ä aus 5ßp läßt sich eindeutig als
Produkt eines Hauptideals und eines zu p gehörigen
Primärideals darstellen.
Wir bezeichnen mit (x^ die höchste in a aufgehende Potenz von
(x), mit n den Index von ä, mit p das reguläre Ideal (tf/• (a: (£)w).