DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0088
88
Wolfgang Krull:
Da a ein Vielfaches von fj, und f) nach § 1 ein Hauptideal ist, gilt
eine Gleichung ä = t)-q, bei der, wie leicht zu sehen, q ein zu p ge-
höriges Primärideal (oder im Sonderfall das Einheitsideal) ist, weil es
eine Potenz von (x) und ein von 0 verschiedenes Element aus p
enthält. Die Eindeutigkeit der gewonnenen Darstellung ergibt sich aus
Hilfssatz 4, auf Grund dessen wir ohne Schwierigkeit weiter beweisen:
Satz 6. Ein Hauptideal aus ist dann und nur dann
Primideal, und zwar Primideal zweiter Stufe, wenn
es nicht als Produkt echter Hauptidealteiler darstell-
bar ist. Jedes Hauptideal ist das eindeutige Pro-
dukt von Primidealen zweiter Stufe, die selbst Haupt-
ideale sind.
Die zu einem Primideal zweiter Stufe gehörigen
Primärideale sind gerade die Potenzen des betr. Prim-
ideals.
Nennen wir eine Potenzreihe unzerlegbar, wenn sie sich nicht als
Produkt zweier Faktoren, von denen keiner eine Einheit ist, darstellen
läßt, so kann man Satz 5 unter Vermeidung der ideal theoretischen Aus-
drucksweise auch so formulieren:
Jede Potenzreihe aus läßt sich bis auf Einheits-
faktoren eindeutig als Produkt unzerlegbarer Po-
tenzreihen dar stellen.
Wir wenden uns jetzt zur Entwicklung der Idealtheorie in
Aus Satz 2 und 3 folgt:
Ein durch (a?) unteilbares Ideal ä aus ist dann und
nur dann Primideal erster bzw. zweiter Stufe, wenn seine
Leitideale sämtlich Potenzen eines festen Primideals p
sind, und wenn in Primideal erster bzw. zweiter
Stufe ist.
Was die durch (rr) teilbaren Ideale angeht, so kommt unter ihnen
offenbar ein einziges Primideal, und zwar zweiter Stufe vor, nämlich (F).
Aus dem Festgestellten ergibt sich folgende Charakterisierung der
Primideale in
Satz 7. Die Primideale erster Stufe p aus ent-
sprechen eindeutig umkehrbar den Primidealen p
aus Ist Qjj, J»2) = p, so besitzt das zugehörige p die
Basisdarstellung p = (Pi, ^)-
Ein von {x) verschiedenes Ideal 5 aus ist dann
und nur dann Primideal zweiter Stufe, wenn seine
Leitideale sämtlich gleich ein und derselben Prim-
Wolfgang Krull:
Da a ein Vielfaches von fj, und f) nach § 1 ein Hauptideal ist, gilt
eine Gleichung ä = t)-q, bei der, wie leicht zu sehen, q ein zu p ge-
höriges Primärideal (oder im Sonderfall das Einheitsideal) ist, weil es
eine Potenz von (x) und ein von 0 verschiedenes Element aus p
enthält. Die Eindeutigkeit der gewonnenen Darstellung ergibt sich aus
Hilfssatz 4, auf Grund dessen wir ohne Schwierigkeit weiter beweisen:
Satz 6. Ein Hauptideal aus ist dann und nur dann
Primideal, und zwar Primideal zweiter Stufe, wenn
es nicht als Produkt echter Hauptidealteiler darstell-
bar ist. Jedes Hauptideal ist das eindeutige Pro-
dukt von Primidealen zweiter Stufe, die selbst Haupt-
ideale sind.
Die zu einem Primideal zweiter Stufe gehörigen
Primärideale sind gerade die Potenzen des betr. Prim-
ideals.
Nennen wir eine Potenzreihe unzerlegbar, wenn sie sich nicht als
Produkt zweier Faktoren, von denen keiner eine Einheit ist, darstellen
läßt, so kann man Satz 5 unter Vermeidung der ideal theoretischen Aus-
drucksweise auch so formulieren:
Jede Potenzreihe aus läßt sich bis auf Einheits-
faktoren eindeutig als Produkt unzerlegbarer Po-
tenzreihen dar stellen.
Wir wenden uns jetzt zur Entwicklung der Idealtheorie in
Aus Satz 2 und 3 folgt:
Ein durch (a?) unteilbares Ideal ä aus ist dann und
nur dann Primideal erster bzw. zweiter Stufe, wenn seine
Leitideale sämtlich Potenzen eines festen Primideals p
sind, und wenn in Primideal erster bzw. zweiter
Stufe ist.
Was die durch (rr) teilbaren Ideale angeht, so kommt unter ihnen
offenbar ein einziges Primideal, und zwar zweiter Stufe vor, nämlich (F).
Aus dem Festgestellten ergibt sich folgende Charakterisierung der
Primideale in
Satz 7. Die Primideale erster Stufe p aus ent-
sprechen eindeutig umkehrbar den Primidealen p
aus Ist Qjj, J»2) = p, so besitzt das zugehörige p die
Basisdarstellung p = (Pi, ^)-
Ein von {x) verschiedenes Ideal 5 aus ist dann
und nur dann Primideal zweiter Stufe, wenn seine
Leitideale sämtlich gleich ein und derselben Prim-