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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0089
Idealtheorie der Potenzreihen einer Variabein usw. 89
idealpotenz pr sind, und wenn eine (und damit jede)
Potenzreihe aus ü mit genau durch pr teilbarem
Anfangsglied in lßp unzerlegbar ist.
Die zu einem bei. Primideal zweiter Stufe ge-
hörigen Primärideale siud gerade die Potenzen des
betr. Primideals.
Satz 7 scheint mir vor allem deshalb wichtig, weil durch ihn die
Entscheidung, ob ein Ideal in 5ß Primideal zweiter Stufe ist oder nicht,
auf die Untersuchung eines einzelnen Elementes aus dem betr. Ideal
zurückgeführt wird.x)
Hauptsatz. Jedes Ideal aus läßt sich eindeutig dar-
stellen als Produkt von Primär idealen, die zu Prim-
idealen erster oder zweiter Stufe gehören.
Der Beweis des Hauptsatzes ergibt sich, wenn man von ä zu-
nächst eine eindeutig bestimmte Potenz von (x) abspaltet, und dann
die Sätze 2 und 3, 5 und 6 anwendet.
Satz 8. Die regulären Ideale sind die einzigen Ideale
aus die sich als Produkt von Primidealen zweiter
Stufe dar stellen lassen.
Die Gültigkeit von Satz 8 für T folgt aus seiner Gültigkeit für
jeden ^ßp, sowie aus der Tatsache, daß ä dann und nur dann in 5ß
regulär ist, wenn für bei. p das Ideal 5 • $pp in 5ßp regulär ist. Satz 8
stellt den Zusammenhang mit der ScHURschen Arbeit dar, denn Herr
Schur baut seine Theorie auf der eindeutigen Produktzerlegung der
von vornherein ausgezeichneten regulären Ideale auf.
Die gewonnenen Ergebnisse gelten auch dann, wenn wir an Stelle
von 5ß (5ßp) den Ring 0ßp*) aller konvergenten Potenzreihen
mit Koeffizienten aus (9tp) setzen.* 2) Wir haben nämlich:
Satz 9. Die zu und 0ßp und 2ßp*) gehörigen Ideal-
bereiche sind äquivalent.
x) Z. B. können wir mit Hilfe unsrer Primidealdefinition folgenden Satz
beweisen:
Ein reguläres Ideal, dessen nulltesLeitideal eine Potenz
des Primideals p darstellt, ist sicher Primideal, wenn es
eine Po t en zreihe «o + «i ® + «2 a;2 + enthält, beider m durch
p unteil bar ist.
2) Bei Sch. wird außer dem Ring aller formalen und dem Ring aller kon-
vergenten Potenzreihen noch derjenige Ring untersucht, der aus allen den Potenz-
reihen besteht, die rationale Funktionen darstellen. Auf diesen letzten Fall, der
auch bei Sch. stellenweise besonders behandelt werden muß, sind unsere Methoden
nicht anwendbar, wenigstens nicht unmittelbar.
idealpotenz pr sind, und wenn eine (und damit jede)
Potenzreihe aus ü mit genau durch pr teilbarem
Anfangsglied in lßp unzerlegbar ist.
Die zu einem bei. Primideal zweiter Stufe ge-
hörigen Primärideale siud gerade die Potenzen des
betr. Primideals.
Satz 7 scheint mir vor allem deshalb wichtig, weil durch ihn die
Entscheidung, ob ein Ideal in 5ß Primideal zweiter Stufe ist oder nicht,
auf die Untersuchung eines einzelnen Elementes aus dem betr. Ideal
zurückgeführt wird.x)
Hauptsatz. Jedes Ideal aus läßt sich eindeutig dar-
stellen als Produkt von Primär idealen, die zu Prim-
idealen erster oder zweiter Stufe gehören.
Der Beweis des Hauptsatzes ergibt sich, wenn man von ä zu-
nächst eine eindeutig bestimmte Potenz von (x) abspaltet, und dann
die Sätze 2 und 3, 5 und 6 anwendet.
Satz 8. Die regulären Ideale sind die einzigen Ideale
aus die sich als Produkt von Primidealen zweiter
Stufe dar stellen lassen.
Die Gültigkeit von Satz 8 für T folgt aus seiner Gültigkeit für
jeden ^ßp, sowie aus der Tatsache, daß ä dann und nur dann in 5ß
regulär ist, wenn für bei. p das Ideal 5 • $pp in 5ßp regulär ist. Satz 8
stellt den Zusammenhang mit der ScHURschen Arbeit dar, denn Herr
Schur baut seine Theorie auf der eindeutigen Produktzerlegung der
von vornherein ausgezeichneten regulären Ideale auf.
Die gewonnenen Ergebnisse gelten auch dann, wenn wir an Stelle
von 5ß (5ßp) den Ring 0ßp*) aller konvergenten Potenzreihen
mit Koeffizienten aus (9tp) setzen.* 2) Wir haben nämlich:
Satz 9. Die zu und 0ßp und 2ßp*) gehörigen Ideal-
bereiche sind äquivalent.
x) Z. B. können wir mit Hilfe unsrer Primidealdefinition folgenden Satz
beweisen:
Ein reguläres Ideal, dessen nulltesLeitideal eine Potenz
des Primideals p darstellt, ist sicher Primideal, wenn es
eine Po t en zreihe «o + «i ® + «2 a;2 + enthält, beider m durch
p unteil bar ist.
2) Bei Sch. wird außer dem Ring aller formalen und dem Ring aller kon-
vergenten Potenzreihen noch derjenige Ring untersucht, der aus allen den Potenz-
reihen besteht, die rationale Funktionen darstellen. Auf diesen letzten Fall, der
auch bei Sch. stellenweise besonders behandelt werden muß, sind unsere Methoden
nicht anwendbar, wenigstens nicht unmittelbar.