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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0094
94 Friedrich Karl Schmidt:
Komplexe der Form A~1 f) A', die sich aus F bei beliebiger Wahl der
A, A' herstellen lassen. Nennt man zwei solche Komplexe komponierbar,
wenn jedes Element des einen Komplexes mit jedem Element des zweiten
verknüpft werden kann und die entstehenden Produkte mit den Ele-
menten eines Komplexes der Form A“1!) A' übereinstimmen, so stellen
die angeführten Komplexe ein Gruppoid dar, das Faktorgruppoid Ffä
von F nach t). Dabei haben zwei Komplexe A“1!) A'j und A-1!) A' 2 (bzw.
Aw1!) A' und A2-1^ A') entweder alle oder kein Element gemeinsam.
Diese Tatsachen, die in den Arbeiten der Herren H. Brandt und
A. Loewy enthalten sind1), lassen für ein endliches Gruppoid Feine leichte
Verallgemeinerung zu. Sei ff ein Gruppoid, dessen Elemente alle in dem
endlichen Gruppoid F vorkommen, H also Teilgruppoid von F. H und F
haben sicher eine Einheit E gemeinsam und es bedeute g bzw. Ij die
Gruppe der E in F bzw. H doppelt zugehörigen Elemente. Wir machen
nun die Annahme, daß der Rang s von H ein Teiler des Ranges r von
Fist und wollen H unter dieser Voraussetzung als vollständiges Teilgrup-
poid von F bezeichnen. Da die Ordnung g von g ein Vielfaches der
Ordnung h von f) ist, so ist dann auch die Elementezahl von F durch
die Elementezahl von H teilbar. Um das Faktorgruppoid von F nach
dem vollständigen Teilgruppoid H zu erklären, verfahren wir folgender-
maßen. Zu jeder Einheit E; von F greifen wir ein E links zugehöriges
Element Aj heraus, welches Ej als Rechtseinheit besitzt, und zwar wählen
wir die r Elemente Aj derart, daß s von ihnen aus H stammen. Diese
r Elemente Aj teilen wir in |-Systeme ^lk mit je s Elementen, von denen
eines gerade die s Elemente aus H umfaßt. Zu einem Komplex S ver-
einigen wir jetzt alle Elemente ausF, die in der Form A~1 G H G' Ak
geschrieben werden können, wo H ein beliebiges Element aus I), G, G
zwei feste Elemente aus g bedeuten und Aj bzw. Ak alle Elemente des
Systems Aj bzw. Ak durchläuft. Unter allen Komplexen S, die man
gewinnt, wenn man G, G', Aj, Ak unabhängig voneinander variiert be-
findet sich offenbar das Gruppoid H. Betrachtet man ferner zwei Kom-
plexe G1? (i2 als komponierbar, wenn die Produkte je eines Elements
aus Gj mit einem Element aus G2, soweit sie existieren, gerade alle und
nur die Elemente eines Komplexes (£ liefern, so bilden die Komplexe (£
ein Gruppoid F.2) Dieses Gruppoid ist durch Fund77 eindeutig bestimmt,
P B., S. 363—364. L., § 3. Die Bemerkung über die Verschiedenheit zweier
Komplexe A—11) A\, A~~11) A'2 gibt Herr H. Brandt nicht.
2) Die Darstellung des Textes gibt die abstrakte Formulierung einer Zer-
legung, die Herr A. Loewy in seiner Arbeit zur Galoisschen Theorie, loc eit.
S. 29, für die Transmutationen eines Körpers durch algebraische Überlegungen
gewonnen hat.
Komplexe der Form A~1 f) A', die sich aus F bei beliebiger Wahl der
A, A' herstellen lassen. Nennt man zwei solche Komplexe komponierbar,
wenn jedes Element des einen Komplexes mit jedem Element des zweiten
verknüpft werden kann und die entstehenden Produkte mit den Ele-
menten eines Komplexes der Form A“1!) A' übereinstimmen, so stellen
die angeführten Komplexe ein Gruppoid dar, das Faktorgruppoid Ffä
von F nach t). Dabei haben zwei Komplexe A“1!) A'j und A-1!) A' 2 (bzw.
Aw1!) A' und A2-1^ A') entweder alle oder kein Element gemeinsam.
Diese Tatsachen, die in den Arbeiten der Herren H. Brandt und
A. Loewy enthalten sind1), lassen für ein endliches Gruppoid Feine leichte
Verallgemeinerung zu. Sei ff ein Gruppoid, dessen Elemente alle in dem
endlichen Gruppoid F vorkommen, H also Teilgruppoid von F. H und F
haben sicher eine Einheit E gemeinsam und es bedeute g bzw. Ij die
Gruppe der E in F bzw. H doppelt zugehörigen Elemente. Wir machen
nun die Annahme, daß der Rang s von H ein Teiler des Ranges r von
Fist und wollen H unter dieser Voraussetzung als vollständiges Teilgrup-
poid von F bezeichnen. Da die Ordnung g von g ein Vielfaches der
Ordnung h von f) ist, so ist dann auch die Elementezahl von F durch
die Elementezahl von H teilbar. Um das Faktorgruppoid von F nach
dem vollständigen Teilgruppoid H zu erklären, verfahren wir folgender-
maßen. Zu jeder Einheit E; von F greifen wir ein E links zugehöriges
Element Aj heraus, welches Ej als Rechtseinheit besitzt, und zwar wählen
wir die r Elemente Aj derart, daß s von ihnen aus H stammen. Diese
r Elemente Aj teilen wir in |-Systeme ^lk mit je s Elementen, von denen
eines gerade die s Elemente aus H umfaßt. Zu einem Komplex S ver-
einigen wir jetzt alle Elemente ausF, die in der Form A~1 G H G' Ak
geschrieben werden können, wo H ein beliebiges Element aus I), G, G
zwei feste Elemente aus g bedeuten und Aj bzw. Ak alle Elemente des
Systems Aj bzw. Ak durchläuft. Unter allen Komplexen S, die man
gewinnt, wenn man G, G', Aj, Ak unabhängig voneinander variiert be-
findet sich offenbar das Gruppoid H. Betrachtet man ferner zwei Kom-
plexe G1? (i2 als komponierbar, wenn die Produkte je eines Elements
aus Gj mit einem Element aus G2, soweit sie existieren, gerade alle und
nur die Elemente eines Komplexes (£ liefern, so bilden die Komplexe (£
ein Gruppoid F.2) Dieses Gruppoid ist durch Fund77 eindeutig bestimmt,
P B., S. 363—364. L., § 3. Die Bemerkung über die Verschiedenheit zweier
Komplexe A—11) A\, A~~11) A'2 gibt Herr H. Brandt nicht.
2) Die Darstellung des Textes gibt die abstrakte Formulierung einer Zer-
legung, die Herr A. Loewy in seiner Arbeit zur Galoisschen Theorie, loc eit.
S. 29, für die Transmutationen eines Körpers durch algebraische Überlegungen
gewonnen hat.