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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0101
Bemerkungen zum Brandtschen Gruppoid.
101
Ist £ irgendein Zwischenkörper zwischen $ und 3k, und bedeuten
3k(jl), 3k(i2), ... die Konjugierten von 3k über £, so ist das Grup-
poid H aller Transmutationen der Körper 3k, 3k<J1), . . . über £ ein
Teilgruppoid von I\ Da jedes nicht in 3k0 enthaltene Element aus 3k
in bezug auf 3k 0 von zweiter Art ist, so werden alle Transmutationen
von 3k über £ durch die Transmutationen des Vereinigungskörpers
(3k0, £) über £ gegeben. (3k0, £) enthält lauter Elemente, die in bezug
auf £ von erster Art sind, und es ist der Grad m0 von (3k0, £) über £
gleich dem Grad von 3k 0 über dem Durchschnitt [3k0, £] von 3k0 und £,
m0 also ein Teiler von m0. Aus Satz 1 folgt somit, daß das Produkt
aus Rang und Ordnung von H ein Teiler des Produkts aus Rang und
Ordnung von r ist. Wir sagen, der Körper £ gehöre zu dem Teilgruppoid
H; nach dieser Definition gehört $ zu P.
Satz 2: Gehört der Zwischenkörper £ zwischen .St und
3k zu dem Teilgruppoid H von r und ist A ein Element
aus 3k, das bei allen Transmutationen aus H ungeändert
bleibt, so gehört A zu £ oder ist in bezug auf £ von zweiter
Art.
Beweis: Jede Transmutation von £ (A) über £ kann nach dem
Fundamentallemma zu einer Transmutation von 3k über £ erweitert
werden. Da aber A bei jeder Transmutation von 3k über £ nach Voraus-
setzung ungeändert bleibt, gestattet also £ (A) über £ nur die identische
Transmutation, und der reduzierte Grad von £ (A) über £ ist nach Satz 1
gleich 1.
Satz 3: Ist 1) eine Untergruppe von jT, deren Einheit
durch die identische Abbildung von 3)2 gegeben ist, £ der
Körper aller Elemente aus 3k, die bei den Transmutationen
aus I] ungeändert bleiben, so gehört £ zu I). Zu jeder Unter-
gruppe von r, deren Einheit gleich der identischen Ab-
bildung von 3k ist, gibt es also einen zugehörigen Unter-
körper £ von 3k.1)
Beweis: Unter allen Transmutationen von 3k über £ befinden sich
sicher die Transmutationen aus f). Um nachzuweisen, daß £ zu 1) gehört,
1) ß ist der größte Unterkörper vonäk, der zu f) gehört; ist nämlich ß' irgend-
ein zu (i gehöriger Unterkörper von 2k, so bleiben nach Definition der Zugehörigkeit
alle Elemente von ß' bei den Transmutationen aus h ungeändert, d. h. ß' ist Unter-
körper von ß. Da alle Transmutationen von 2k über durch die Transmutationen
von 2k0 über ft geliefert werden, so schließt man durch Anwendung von Satz 3
auf 2k0 an Stelle von s)Jl, daß zu b auch der Körper ß0 derjenigen Elemente aus ß
gehört, die in bezug auf ft von erster Art sind. Aus Satz 2 folgt, daß ß0 der kleinste
zu tj gehörige Unterkörper ist. 1
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Ist £ irgendein Zwischenkörper zwischen $ und 3k, und bedeuten
3k(jl), 3k(i2), ... die Konjugierten von 3k über £, so ist das Grup-
poid H aller Transmutationen der Körper 3k, 3k<J1), . . . über £ ein
Teilgruppoid von I\ Da jedes nicht in 3k0 enthaltene Element aus 3k
in bezug auf 3k 0 von zweiter Art ist, so werden alle Transmutationen
von 3k über £ durch die Transmutationen des Vereinigungskörpers
(3k0, £) über £ gegeben. (3k0, £) enthält lauter Elemente, die in bezug
auf £ von erster Art sind, und es ist der Grad m0 von (3k0, £) über £
gleich dem Grad von 3k 0 über dem Durchschnitt [3k0, £] von 3k0 und £,
m0 also ein Teiler von m0. Aus Satz 1 folgt somit, daß das Produkt
aus Rang und Ordnung von H ein Teiler des Produkts aus Rang und
Ordnung von r ist. Wir sagen, der Körper £ gehöre zu dem Teilgruppoid
H; nach dieser Definition gehört $ zu P.
Satz 2: Gehört der Zwischenkörper £ zwischen .St und
3k zu dem Teilgruppoid H von r und ist A ein Element
aus 3k, das bei allen Transmutationen aus H ungeändert
bleibt, so gehört A zu £ oder ist in bezug auf £ von zweiter
Art.
Beweis: Jede Transmutation von £ (A) über £ kann nach dem
Fundamentallemma zu einer Transmutation von 3k über £ erweitert
werden. Da aber A bei jeder Transmutation von 3k über £ nach Voraus-
setzung ungeändert bleibt, gestattet also £ (A) über £ nur die identische
Transmutation, und der reduzierte Grad von £ (A) über £ ist nach Satz 1
gleich 1.
Satz 3: Ist 1) eine Untergruppe von jT, deren Einheit
durch die identische Abbildung von 3)2 gegeben ist, £ der
Körper aller Elemente aus 3k, die bei den Transmutationen
aus I] ungeändert bleiben, so gehört £ zu I). Zu jeder Unter-
gruppe von r, deren Einheit gleich der identischen Ab-
bildung von 3k ist, gibt es also einen zugehörigen Unter-
körper £ von 3k.1)
Beweis: Unter allen Transmutationen von 3k über £ befinden sich
sicher die Transmutationen aus f). Um nachzuweisen, daß £ zu 1) gehört,
1) ß ist der größte Unterkörper vonäk, der zu f) gehört; ist nämlich ß' irgend-
ein zu (i gehöriger Unterkörper von 2k, so bleiben nach Definition der Zugehörigkeit
alle Elemente von ß' bei den Transmutationen aus h ungeändert, d. h. ß' ist Unter-
körper von ß. Da alle Transmutationen von 2k über durch die Transmutationen
von 2k0 über ft geliefert werden, so schließt man durch Anwendung von Satz 3
auf 2k0 an Stelle von s)Jl, daß zu b auch der Körper ß0 derjenigen Elemente aus ß
gehört, die in bezug auf ft von erster Art sind. Aus Satz 2 folgt, daß ß0 der kleinste
zu tj gehörige Unterkörper ist. 1