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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0074
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Eine kennzeichnende Eigenschaft des Kreises
die Sehnen über der Bogenlänge s dieselbe Länge 2 d' haben, so
ist das Kurvenstück ein Kreisbogen.
In der Tat braucht man in (III) nur d1=cZ2.= c//, d3 — d zu
setzen, um den Satz (IV) zu erhalten. — Ist die Kurve c eine
Eilinie, so lassen sich die Bedingungen noch verschärfen. Läßt
sich in eine solche eine Schar von Vierecken PQRS mit kon-
stanten Seitenlängen
PQ = 2dt, QR = 2d2, RS = 2d3, SP = 2di
einschreiben, derart daß die zugehörigen Kurvenbögen ebenfalls
jeweils dieselbe Länge haben, so haben auch die abgeschnittenen
Flächenstücke konstante Größen. Daraus ergibt sich, daß auch
alle Vierecke PQRS einen konstanten Inhalt haben müssen. Da
aber ein Viereck mit gegebenen Seitenlängen und gegebenem
Flächeninhalt seine Gestalt nicht stetig ändern kann, so müssen
alle Vierecke kongruent sein, also auch ihre Diagonalen, die ja
über festen Bogenlängen stehen, eine feste Länge haben. Dem-
nach sind die Bedingungen des Satzes (III) erfüllt, und die Kurve
muß daher ein Kreis sein. Insbesondere gilt der Satz :
(V). Sind alle Sehnen einer Eilinie, die von ihr den vierten
Teil des Umfanges abschneiden, einander gleich, so ist die Kurve
ein Kreis.
Wir fragen jetzt allgemeiner: Gibt es Eilinien c, in denen ein
n - Eck (n f> 5) mit lauter gleichen Seiten 2d so verschoben
werden kann, daß die Eckpunkte den Umfang in gleiche Teile
teilen? Zunächst erkennt man, daß der Inhalt des «-Eckes eine
konstante Größe haben müßte, daß ferner mindestens ein Winkel
der Figur größer als ein Rechter ist. Betrachten wir drei aufein-
anderfolgende Ecken P, Q, R der Figur, die bei Q einen stumpfen
Winkel bilden. Lassen wir dann die Sehne 2d sich stetig aus
der Anfangslage PQ in die Endlage QR verschieben, so be-
schreibt ihr Mittelpunkt N ein Stück einer Eilinie (N), und deren
Evolute beschreibt die Kurve (M) der Mittelpunkte der die Eilinie
c in den Endpunkten der Sehnen 2d berührenden Kreise. Es sei
nun 7V0 der Mittelpunkt von PQ, Nr der Mittelpunkt von QR,
Mo, Nf seien die Schnittpunkte der Mittellote von PQ, bzw. QR
mit der Normalen der Kurve c in Q; M sei der Schnittpunkt der
beiden Mittellote selbst. Dann bilden die Punkte Mo, M, ein
bei M stumpfwinkliges Dreieck. Die Kurve (M) berührt in Mo
und die Mittellote; das Kurvenstück MMQ ist daher länger
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Eine kennzeichnende Eigenschaft des Kreises
die Sehnen über der Bogenlänge s dieselbe Länge 2 d' haben, so
ist das Kurvenstück ein Kreisbogen.
In der Tat braucht man in (III) nur d1=cZ2.= c//, d3 — d zu
setzen, um den Satz (IV) zu erhalten. — Ist die Kurve c eine
Eilinie, so lassen sich die Bedingungen noch verschärfen. Läßt
sich in eine solche eine Schar von Vierecken PQRS mit kon-
stanten Seitenlängen
PQ = 2dt, QR = 2d2, RS = 2d3, SP = 2di
einschreiben, derart daß die zugehörigen Kurvenbögen ebenfalls
jeweils dieselbe Länge haben, so haben auch die abgeschnittenen
Flächenstücke konstante Größen. Daraus ergibt sich, daß auch
alle Vierecke PQRS einen konstanten Inhalt haben müssen. Da
aber ein Viereck mit gegebenen Seitenlängen und gegebenem
Flächeninhalt seine Gestalt nicht stetig ändern kann, so müssen
alle Vierecke kongruent sein, also auch ihre Diagonalen, die ja
über festen Bogenlängen stehen, eine feste Länge haben. Dem-
nach sind die Bedingungen des Satzes (III) erfüllt, und die Kurve
muß daher ein Kreis sein. Insbesondere gilt der Satz :
(V). Sind alle Sehnen einer Eilinie, die von ihr den vierten
Teil des Umfanges abschneiden, einander gleich, so ist die Kurve
ein Kreis.
Wir fragen jetzt allgemeiner: Gibt es Eilinien c, in denen ein
n - Eck (n f> 5) mit lauter gleichen Seiten 2d so verschoben
werden kann, daß die Eckpunkte den Umfang in gleiche Teile
teilen? Zunächst erkennt man, daß der Inhalt des «-Eckes eine
konstante Größe haben müßte, daß ferner mindestens ein Winkel
der Figur größer als ein Rechter ist. Betrachten wir drei aufein-
anderfolgende Ecken P, Q, R der Figur, die bei Q einen stumpfen
Winkel bilden. Lassen wir dann die Sehne 2d sich stetig aus
der Anfangslage PQ in die Endlage QR verschieben, so be-
schreibt ihr Mittelpunkt N ein Stück einer Eilinie (N), und deren
Evolute beschreibt die Kurve (M) der Mittelpunkte der die Eilinie
c in den Endpunkten der Sehnen 2d berührenden Kreise. Es sei
nun 7V0 der Mittelpunkt von PQ, Nr der Mittelpunkt von QR,
Mo, Nf seien die Schnittpunkte der Mittellote von PQ, bzw. QR
mit der Normalen der Kurve c in Q; M sei der Schnittpunkt der
beiden Mittellote selbst. Dann bilden die Punkte Mo, M, ein
bei M stumpfwinkliges Dreieck. Die Kurve (M) berührt in Mo
und die Mittellote; das Kurvenstück MMQ ist daher länger
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