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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0033
Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes.
Von Heinrich Kapferer in Freiburg i. Br.
Die vorliegende Abhandlung will zeigen, wie man grundlegende
Tatsachen der Eliminationstheorie von einem einheitlichen Grund-
gedanken aus beweisen kann, ohne Resultanten herbeizuziehen.
Der einheitliche Grundgedanke ist die „vollständige Induktion“, die
immer von denselben vier Eigenschaften der Resultantenmultiplizitätx)
ausgeht. Das Neue besteht wesentlich darin, daß diese Eigenschaften,
als Postulate formuliert, allein ausreichen, um den Multiplizitätsbegriff
eindeutig zu definieren, und zwar so, daß der BEZOUTSche Satz daraus
folgt (für 2 homogene Polynome mit 3 Variabein). Gleichzeitig, und
zwar implizite, wird auch das Auffinden der gemeinsamen Null-
stellen zurückgeführt auf die Zerlegung gewisser binärer Formen in
ihre linearen Faktoren (§ 3).
Ferner ergibt sich fast unmittelbar der Satz, daß die Multiplizitäts-
zahlen invariant sind, d. h. daß sie unveränderlich sind gegenüber
jeder homogenen linearen umkehrbaren Transformation, welcher die beiden
Polynome simultan unterworfen werden. Daß dies rein algebraisch be-
wiesen werden kann, scheint bisher nicht bekannt gewesen zu sein.
Vermutlich läßt sich aber auch die Eigenschaft der Mertens sehen* 2)
Resultante, eine algebraische Invariante zu sein, zu einem solchen Be-
weis verwenden, was jedoch von Mertens weder durchgeführt noch
ausgesprochen wird. M. Noether3) beweist die Invarianz unter wesent-
licher Beiziehung einer Kontinuitätsbetrachtung.
Die folgenden Überlegungen dürften auch für die Axiomatik als
solche Interesse bieten, insofern hier ein irreduzibles, widerspruchs-
loses und kategorisches Postulatsystem gegeben wird. Zum Beweis
der Widerspruchslosigkeit ist zu bemerken, daß er sehr hätte abge-
r) Dies ist nicht so zu verstehen, als ob die Resultantenmultiplizität zuerst
definiert werden müßte.
2) Mertens „Zur Theorie der Elimination“; Wiener Akademie - Berichte,
Bd. 108, 2a; 1899; zwei getrennte Abhandlungen in demselben Band.
In manchen Lehrbüchern wird übrigens die Tatsache der Invarianz still-
schweigend benützt, aber unberechtigterweise, weil ohne vorausgehenden Beweis.
3) Max Noether „Rationale Ausführung der Operationen in der Theorie
der algebr. Kurven“ Math. Annalen Bd. 23, 1884, S. 317.
3
Von Heinrich Kapferer in Freiburg i. Br.
Die vorliegende Abhandlung will zeigen, wie man grundlegende
Tatsachen der Eliminationstheorie von einem einheitlichen Grund-
gedanken aus beweisen kann, ohne Resultanten herbeizuziehen.
Der einheitliche Grundgedanke ist die „vollständige Induktion“, die
immer von denselben vier Eigenschaften der Resultantenmultiplizitätx)
ausgeht. Das Neue besteht wesentlich darin, daß diese Eigenschaften,
als Postulate formuliert, allein ausreichen, um den Multiplizitätsbegriff
eindeutig zu definieren, und zwar so, daß der BEZOUTSche Satz daraus
folgt (für 2 homogene Polynome mit 3 Variabein). Gleichzeitig, und
zwar implizite, wird auch das Auffinden der gemeinsamen Null-
stellen zurückgeführt auf die Zerlegung gewisser binärer Formen in
ihre linearen Faktoren (§ 3).
Ferner ergibt sich fast unmittelbar der Satz, daß die Multiplizitäts-
zahlen invariant sind, d. h. daß sie unveränderlich sind gegenüber
jeder homogenen linearen umkehrbaren Transformation, welcher die beiden
Polynome simultan unterworfen werden. Daß dies rein algebraisch be-
wiesen werden kann, scheint bisher nicht bekannt gewesen zu sein.
Vermutlich läßt sich aber auch die Eigenschaft der Mertens sehen* 2)
Resultante, eine algebraische Invariante zu sein, zu einem solchen Be-
weis verwenden, was jedoch von Mertens weder durchgeführt noch
ausgesprochen wird. M. Noether3) beweist die Invarianz unter wesent-
licher Beiziehung einer Kontinuitätsbetrachtung.
Die folgenden Überlegungen dürften auch für die Axiomatik als
solche Interesse bieten, insofern hier ein irreduzibles, widerspruchs-
loses und kategorisches Postulatsystem gegeben wird. Zum Beweis
der Widerspruchslosigkeit ist zu bemerken, daß er sehr hätte abge-
r) Dies ist nicht so zu verstehen, als ob die Resultantenmultiplizität zuerst
definiert werden müßte.
2) Mertens „Zur Theorie der Elimination“; Wiener Akademie - Berichte,
Bd. 108, 2a; 1899; zwei getrennte Abhandlungen in demselben Band.
In manchen Lehrbüchern wird übrigens die Tatsache der Invarianz still-
schweigend benützt, aber unberechtigterweise, weil ohne vorausgehenden Beweis.
3) Max Noether „Rationale Ausführung der Operationen in der Theorie
der algebr. Kurven“ Math. Annalen Bd. 23, 1884, S. 317.
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