DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0049
Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes. 49
„Sätze“ angesehen werden können, die allein aus den Postulaten folgen
(§ 5). Nachdem nun die Gültigkeit von Postulat III durch den Satz 6
von §4 auf ternäre Linearformen L erweitert worden ist, können
wir sagen: Die Relation
(-F(®> y, 2)> (»> y, )
bleibt richtig, wenn man beiderseits für x, y, z bzw. die Linearformen
L2, L3 der Transformation T einsetzt. Da nun jeder einzelne Sum-
mand (7, Z') bei dieser Transformation [beir^o!] dem Werte nach un-
verändert bleibt, so bleibt auch die ganze Summe unverändert.
q. e. d.
§8. Identität des Symbols V (U,J) mit der Mertens sehen
Resultantenmultiplizität.
Die Mertens sehe Eliminationsmethode, spezialisiert auf den vor-
liegenden Fall, alle gemeinsamen Nullstellen von zwei Formen mit drei
Variabein zu finden, verlangt folgendes: Man nehme zu den beiden Formen
F, G noch eine dritte, und zwar lineare Form mit unbestimmten Koef-
fizienten ux-[-vy-\~w 13 hinzu und bilde von diesen drei Formen ein, nach
wohl erklärter Vorschrift, abzuleitendes Gebilde R, die Mertens sehe
Resultante der drei Formen. Dieselbe hat die Eigenschaft, ausnahmslos
in so viele lineare Faktoren zu zerfallen, als das Produkt der Ordnungs-
zahlen von F und G angibt; es wird nämlich
m • n
R='\\(uaiFvßi + zvyß.
i= 1
Die numerischen Koeffizienten aif ßif yi liefern die gemeinsamen
Nullstellen, und nur diese, nämlich x = aif y — ßi, z = yt. Als Multi-
plizität einer gemeinsamen Nullstelle wird nun, in naheliegender Weise,
diejenige Zahl bezeichnet, welche angibt, wie oft der zugehörige Linear-
faktor in u, v, w in dem Gebilde R auftritt. Für tatsächliche nume-
risch Bestimmungen der Multiplizität kommt die Mertens sehe Resul-
tante freilich nicht in Betracht, aber sie gestattet nicht nur eine präzise
theoretische Definition des Begriffs Multiplizität, sondern begreift in
sich auch unmittelbar einen Beweis für den Bezoutsehen Satz, daß die
Summe aller so definierten Multiplizitätszahlen gleich dem Produkt der
Ordnungen der beiden Formen ist.
Bezeichnet man nun die eben erklärte Mertens sehe Multiplizität
einer gemeinsamen Nullstelle P, nämlich die Exponenten in der Resul-
*) Mertens, „Zur Theorie der Elimination“. Wiener Akademie Berichte
Bd. 108, 2a. (1899). Zwei getrennte Abhandlungen in demselben Band.
4
„Sätze“ angesehen werden können, die allein aus den Postulaten folgen
(§ 5). Nachdem nun die Gültigkeit von Postulat III durch den Satz 6
von §4 auf ternäre Linearformen L erweitert worden ist, können
wir sagen: Die Relation
(-F(®> y, 2)> (»> y, )
bleibt richtig, wenn man beiderseits für x, y, z bzw. die Linearformen
L2, L3 der Transformation T einsetzt. Da nun jeder einzelne Sum-
mand (7, Z') bei dieser Transformation [beir^o!] dem Werte nach un-
verändert bleibt, so bleibt auch die ganze Summe unverändert.
q. e. d.
§8. Identität des Symbols V (U,J) mit der Mertens sehen
Resultantenmultiplizität.
Die Mertens sehe Eliminationsmethode, spezialisiert auf den vor-
liegenden Fall, alle gemeinsamen Nullstellen von zwei Formen mit drei
Variabein zu finden, verlangt folgendes: Man nehme zu den beiden Formen
F, G noch eine dritte, und zwar lineare Form mit unbestimmten Koef-
fizienten ux-[-vy-\~w 13 hinzu und bilde von diesen drei Formen ein, nach
wohl erklärter Vorschrift, abzuleitendes Gebilde R, die Mertens sehe
Resultante der drei Formen. Dieselbe hat die Eigenschaft, ausnahmslos
in so viele lineare Faktoren zu zerfallen, als das Produkt der Ordnungs-
zahlen von F und G angibt; es wird nämlich
m • n
R='\\(uaiFvßi + zvyß.
i= 1
Die numerischen Koeffizienten aif ßif yi liefern die gemeinsamen
Nullstellen, und nur diese, nämlich x = aif y — ßi, z = yt. Als Multi-
plizität einer gemeinsamen Nullstelle wird nun, in naheliegender Weise,
diejenige Zahl bezeichnet, welche angibt, wie oft der zugehörige Linear-
faktor in u, v, w in dem Gebilde R auftritt. Für tatsächliche nume-
risch Bestimmungen der Multiplizität kommt die Mertens sehe Resul-
tante freilich nicht in Betracht, aber sie gestattet nicht nur eine präzise
theoretische Definition des Begriffs Multiplizität, sondern begreift in
sich auch unmittelbar einen Beweis für den Bezoutsehen Satz, daß die
Summe aller so definierten Multiplizitätszahlen gleich dem Produkt der
Ordnungen der beiden Formen ist.
Bezeichnet man nun die eben erklärte Mertens sehe Multiplizität
einer gemeinsamen Nullstelle P, nämlich die Exponenten in der Resul-
*) Mertens, „Zur Theorie der Elimination“. Wiener Akademie Berichte
Bd. 108, 2a. (1899). Zwei getrennte Abhandlungen in demselben Band.
4