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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0050
50 Heinrich Kapferer:
tante, mit E (U, V), und erteilt dem Symbol E(U,V) für alle nicht
gemeinsamen Punkte den Wert 0, so läßt sich beweisen:
Die Gesamtheit der Zahlen B(t7',F) erfüllt die 4 Postulate.
ad I. Der Satz E (l, Z') = o ist in obiger Fortsetzung enthalten,
ad II. E (1,1') — 1, wenn es sich uni einen gemeinsamen Punkt
von Z und V handelt; denn die Mertens sehe Resultante von nur linearen
Formen wird überhaupt genau vom Grade 1, besteht aus einem einzigen
Linearfaktor.
ad III. E (A, B) + E(A,l) = E (A, El)
und die dazu symmetrische Relation, sind spezielle Fälle der allgemei-
neren Formel
E(A, B) + E(A, C) = E(A,BC).
Letztere ist aber unmittelbar aus dem sogenannten Produktsatz
für Resultanten abzulesen (a. a. O. p. 1201)D
R (A, B) ■ R (A, C) = R (A, EC)
ad IV. E(A,B) = E (A-}-tB, B);
denn Mertens beweist (a. a. O. S. 1202), daß die von ihm definierte
Resultante völlig ungeändert bleibt, wenn das Formenpaar A, B ersetzt
wird durch das andere: A + tB,B. Bei dieser Änderung bleiben also
a fortiori jene Exponenten E umgeändert.
Aus der Tatsache R (U, V) = R (F, U) folgt weiter E (U,V) -
B(F, ü) und daher folgt aus IVa auch IVb.
§9. Multiplizitätsbegriff bei nicht teilerfremden Formenpaaren.
Bei Vorhandensein gemeinsamer Teiler der Formen ü und F ver-
schwindet die Resultante identisch.* 2) Will man also in diesem Fall von
Multiplizität reden, so muß man neu definieren. Dies kann in nahe-
liegender Weise so geschehen: Es sei U=V'-T,) V =V • T, wo ü'
und V teilerfremd, mit der Bedingung, daß T nicht in dem betreffenden
Punkt verschwindet. Als Multiplizität einer gemeinsamen Null-
stelle von U und F möge diejenige gelten, welche demselben Punkt in
dem Formenpaar U', V' zukommt. Die Ermittlung der Multiplizität
mit Hilfe der Resultante würde also erfordern, den größten gemein-
samen Teiler der zwei Formen zuerst zu beseitigen. Hier zeigt sich nun
von einer neuen Seite, daß die axiomatische Erklärung der Multiplizität
9 Vgl. auch J. König „Einleitung in die allgemeine Theorie der alge-
braischen Größen“ 1903; S. 288.
2) Vgl. Mertens a. a. O. S. 1345.
tante, mit E (U, V), und erteilt dem Symbol E(U,V) für alle nicht
gemeinsamen Punkte den Wert 0, so läßt sich beweisen:
Die Gesamtheit der Zahlen B(t7',F) erfüllt die 4 Postulate.
ad I. Der Satz E (l, Z') = o ist in obiger Fortsetzung enthalten,
ad II. E (1,1') — 1, wenn es sich uni einen gemeinsamen Punkt
von Z und V handelt; denn die Mertens sehe Resultante von nur linearen
Formen wird überhaupt genau vom Grade 1, besteht aus einem einzigen
Linearfaktor.
ad III. E (A, B) + E(A,l) = E (A, El)
und die dazu symmetrische Relation, sind spezielle Fälle der allgemei-
neren Formel
E(A, B) + E(A, C) = E(A,BC).
Letztere ist aber unmittelbar aus dem sogenannten Produktsatz
für Resultanten abzulesen (a. a. O. p. 1201)D
R (A, B) ■ R (A, C) = R (A, EC)
ad IV. E(A,B) = E (A-}-tB, B);
denn Mertens beweist (a. a. O. S. 1202), daß die von ihm definierte
Resultante völlig ungeändert bleibt, wenn das Formenpaar A, B ersetzt
wird durch das andere: A + tB,B. Bei dieser Änderung bleiben also
a fortiori jene Exponenten E umgeändert.
Aus der Tatsache R (U, V) = R (F, U) folgt weiter E (U,V) -
B(F, ü) und daher folgt aus IVa auch IVb.
§9. Multiplizitätsbegriff bei nicht teilerfremden Formenpaaren.
Bei Vorhandensein gemeinsamer Teiler der Formen ü und F ver-
schwindet die Resultante identisch.* 2) Will man also in diesem Fall von
Multiplizität reden, so muß man neu definieren. Dies kann in nahe-
liegender Weise so geschehen: Es sei U=V'-T,) V =V • T, wo ü'
und V teilerfremd, mit der Bedingung, daß T nicht in dem betreffenden
Punkt verschwindet. Als Multiplizität einer gemeinsamen Null-
stelle von U und F möge diejenige gelten, welche demselben Punkt in
dem Formenpaar U', V' zukommt. Die Ermittlung der Multiplizität
mit Hilfe der Resultante würde also erfordern, den größten gemein-
samen Teiler der zwei Formen zuerst zu beseitigen. Hier zeigt sich nun
von einer neuen Seite, daß die axiomatische Erklärung der Multiplizität
9 Vgl. auch J. König „Einleitung in die allgemeine Theorie der alge-
braischen Größen“ 1903; S. 288.
2) Vgl. Mertens a. a. O. S. 1345.