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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0066
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Heinrich Kapferer:
Beweis von Hilfssatz 4.
Auf Grund der Voraussetzung B 4 o(x — a, y - ß) kann man ansetzen
l = o(B, x — a, y- ß); hieraus aber folgt durch Potenzieren mit einer ganzen
positiven Zahl o :
1=1 • B mod
mit nicht identisch verschwindendem 2 [weil sonst 1 e= o (p) wäre]. Daher folgt
aus der Voraussetzung A • B = o (cp, y>, p ), nach Multiplikation mit 2,
Q
A = o p'), was zu beweisen war.
Mit vorgenannten vier Hilfssätzen beweise ich nun sofort den
Satz (la). Es handelt sich um einen Existenzbeweis, daß nämlich eine
positive ganze Zahl q existiert, so daß für jedes ganze positive
o > o gilt:
(<7b Vb P J V’’ P°)
Ich behaupte: o = 2u, wo // die in Hilfssatz 1 erklärte Bedeutung
(Schnittpunktmultiplizität) hat, ist schon eine Zahl der gewünschten
Art, d. h. es ist
(3) (99, y, p2^) =■
für jedes o > 2/r.
Zum Beweise zeige ich direkt, daß jedes Polynom der von dem
einen der beiden Moduln repräsentierten Polynome auch in der Ge-
samtheit von Polynomen vorkommt, die der andere Modul repräsentiert.
Zunächst ist zu bemerken, daß eine lineare umkehrbare Transformation,
wie sie die Hilfssätze 1, 2 und 3 verlangen, ohne Einfluß ist auf das
Bestehen oder Nichtbestehen der Relation (3); man darf also von vorn-
herein annehmen, daß 99, schon durch Transformation so „zubereitet‘
sind, wie es die Hilfssätze 1, 2 und 3 verlangen. A sei irgendein
Polynom des Moduls (yp, 99, p2^), wo p = U — av y — ß-ß) ist; dann gilt
a fortiori, wegen fr'' = o((a? — ad'“1, (y — ß)ill')>
Aaeo ((p, yp (x-aifr,
Diese letztere Kongruenz multipliziere man mit dem Produkt
P1=n(x-aip'-(.y-ßä,‘<
i~2
Nach Hilfssatz 1 gilt dann
(4) A-P^o (99,
und a fortiori A- P1~o (pp, ip, pö), wo o eine ganz beliebige positive
ganze Zahl bedeutet. Da ferner nach Hilfssatz 2
P\ 4 0 (>■<■■ hp y ßß)
Heinrich Kapferer:
Beweis von Hilfssatz 4.
Auf Grund der Voraussetzung B 4 o(x — a, y - ß) kann man ansetzen
l = o(B, x — a, y- ß); hieraus aber folgt durch Potenzieren mit einer ganzen
positiven Zahl o :
1=1 • B mod
mit nicht identisch verschwindendem 2 [weil sonst 1 e= o (p) wäre]. Daher folgt
aus der Voraussetzung A • B = o (cp, y>, p ), nach Multiplikation mit 2,
Q
A = o p'), was zu beweisen war.
Mit vorgenannten vier Hilfssätzen beweise ich nun sofort den
Satz (la). Es handelt sich um einen Existenzbeweis, daß nämlich eine
positive ganze Zahl q existiert, so daß für jedes ganze positive
o > o gilt:
(<7b Vb P J V’’ P°)
Ich behaupte: o = 2u, wo // die in Hilfssatz 1 erklärte Bedeutung
(Schnittpunktmultiplizität) hat, ist schon eine Zahl der gewünschten
Art, d. h. es ist
(3) (99, y, p2^) =■
für jedes o > 2/r.
Zum Beweise zeige ich direkt, daß jedes Polynom der von dem
einen der beiden Moduln repräsentierten Polynome auch in der Ge-
samtheit von Polynomen vorkommt, die der andere Modul repräsentiert.
Zunächst ist zu bemerken, daß eine lineare umkehrbare Transformation,
wie sie die Hilfssätze 1, 2 und 3 verlangen, ohne Einfluß ist auf das
Bestehen oder Nichtbestehen der Relation (3); man darf also von vorn-
herein annehmen, daß 99, schon durch Transformation so „zubereitet‘
sind, wie es die Hilfssätze 1, 2 und 3 verlangen. A sei irgendein
Polynom des Moduls (yp, 99, p2^), wo p = U — av y — ß-ß) ist; dann gilt
a fortiori, wegen fr'' = o((a? — ad'“1, (y — ß)ill')>
Aaeo ((p, yp (x-aifr,
Diese letztere Kongruenz multipliziere man mit dem Produkt
P1=n(x-aip'-(.y-ßä,‘<
i~2
Nach Hilfssatz 1 gilt dann
(4) A-P^o (99,
und a fortiori A- P1~o (pp, ip, pö), wo o eine ganz beliebige positive
ganze Zahl bedeutet. Da ferner nach Hilfssatz 2
P\ 4 0 (>■<■■ hp y ßß)