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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0070
70
Heinrich Kapferer:
dann ganz rational, wenn (A^)^^). Falls letzteres erfüllt ist, folgt
weiter: K3 ist dann und nur dann ganz rational, wenn
Schließlich, falls schon Kt ganz rational ist: Kt+1 ist dann und nur
dann ganz rational, wenn (K))>(^) ist.
Auf die Gleichungssysteme (8) und (11) gründet sich nun die
Aufstellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen für
Ä = o(q).
Wenn Kr = o (qj ist, d. h. auch, wenn die Kongruenz
<12)
mit nach oben unbeschränkt großem a, bestehen soll, so folgt — es ist
der Einfachheit wegen bi — (x, y) angenommen —, indem man x = o setzt:
y} = 0 (/i(o, y)> 9i(P, y), p°).
(13) Daher ist notwendig (AT-^VQ/j),
denn nach Voraussetzung ist (/)} > (g^), und o darf unbeschränkt groß,
also o ~ß> (^x) angenommen werden. Die Bedingung (13) ist aber nicht
die einzig notwendige für Af=o (q), d. h. noch keine hinreichende Be-
dingung. Erst in Verbindung mit der noch abzuleitenden zweiten
notwendigen Bedingung (17) kommen wir zum gewünschten Ziel.
Man multipliziere Kongruenz (12) mit
Q = (y - ßzf (y - ß^ • • •(?/- ßsf,
und beachte, daß aus der unter (la) gegebenen Definition von q2, q3,
. . . qs folgt:
(.V - ß^f = 0 (q2), ßy - ßz)Q == 0 (q3),...(?/- ß.f = o (qs),
falls nur q groß genug gewählt ist. Dann folgt aus Satz (lb)
(ID ^-<2=0 (/•;,.91)
Nun benötige ich die erste Gleichung des Systems (8) in der
Gestalt:
(15) fr9i(o,y)-.y^ = o(x-\,g^
und die erste Gleichung des Systems (11) in der Gestalt
(16) K-i' 9i (o, y) ■ y(B1) ^x-K2 mod gx
denkt man sich (14) beiderseits noch mit gt (p, y): y^ multipliziert und
beachtet (15) und (16), so findet man
x • ■ Q) — o ßjcli-y, gß).
Nach Satz (10) ist aber (Jx 4 o (x), also kann a? herausgehoben werden,
so daß gilt K2 • Q = o ßhv gß)
und a fortiori K2-Q = o (Ax, gv pxö).
Da ferner Qi o (px) gemäß Hilfssatz 2, so folgt nach Hilfssatz 4
A72 = o (Äx,#x, pxö).
Heinrich Kapferer:
dann ganz rational, wenn (A^)^^). Falls letzteres erfüllt ist, folgt
weiter: K3 ist dann und nur dann ganz rational, wenn
Schließlich, falls schon Kt ganz rational ist: Kt+1 ist dann und nur
dann ganz rational, wenn (K))>(^) ist.
Auf die Gleichungssysteme (8) und (11) gründet sich nun die
Aufstellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen für
Ä = o(q).
Wenn Kr = o (qj ist, d. h. auch, wenn die Kongruenz
<12)
mit nach oben unbeschränkt großem a, bestehen soll, so folgt — es ist
der Einfachheit wegen bi — (x, y) angenommen —, indem man x = o setzt:
y} = 0 (/i(o, y)> 9i(P, y), p°).
(13) Daher ist notwendig (AT-^VQ/j),
denn nach Voraussetzung ist (/)} > (g^), und o darf unbeschränkt groß,
also o ~ß> (^x) angenommen werden. Die Bedingung (13) ist aber nicht
die einzig notwendige für Af=o (q), d. h. noch keine hinreichende Be-
dingung. Erst in Verbindung mit der noch abzuleitenden zweiten
notwendigen Bedingung (17) kommen wir zum gewünschten Ziel.
Man multipliziere Kongruenz (12) mit
Q = (y - ßzf (y - ß^ • • •(?/- ßsf,
und beachte, daß aus der unter (la) gegebenen Definition von q2, q3,
. . . qs folgt:
(.V - ß^f = 0 (q2), ßy - ßz)Q == 0 (q3),...(?/- ß.f = o (qs),
falls nur q groß genug gewählt ist. Dann folgt aus Satz (lb)
(ID ^-<2=0 (/•;,.91)
Nun benötige ich die erste Gleichung des Systems (8) in der
Gestalt:
(15) fr9i(o,y)-.y^ = o(x-\,g^
und die erste Gleichung des Systems (11) in der Gestalt
(16) K-i' 9i (o, y) ■ y(B1) ^x-K2 mod gx
denkt man sich (14) beiderseits noch mit gt (p, y): y^ multipliziert und
beachtet (15) und (16), so findet man
x • ■ Q) — o ßjcli-y, gß).
Nach Satz (10) ist aber (Jx 4 o (x), also kann a? herausgehoben werden,
so daß gilt K2 • Q = o ßhv gß)
und a fortiori K2-Q = o (Ax, gv pxö).
Da ferner Qi o (px) gemäß Hilfssatz 2, so folgt nach Hilfssatz 4
A72 = o (Äx,#x, pxö).