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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0075
Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen. 75
Da aber (p und ip als teilerfremd vorausgesetzt sind, also nicht beide
durch z teilbar sein können, also etwa ip nicht durch z teilbar ist, so
läßt sich z herausheben und man erhält
(31) z ■ K(xyz') == o (cp^xyz), <ß(xyz)')-
Aus (30) folgte (31). Wendet man dieses Verfahren v-mal an,
so ist der Satz (29) bewiesen.
Um also den Hauptsatz (21) auch zur Prüfung der homogenen
Kongruenz K(xyz) = o (cptxyzß y’txyzß) anwenden zu können, hat man
nach Satz (29) nur dafür zu sorgen, daß cp, xp keinen gemein-
samen Punkt x-. y: z = a : ß : o besitzen. Dies ist aber durch eine lineare
Transformation folgender Art immer erreichbar1):
(32) x = x'- y = y’’, z = z'-\-vxr-\-ivy',
welcher man simultan die Polynome K, <p, ip unterwirft.
§3.
Anwendung des Hauptsatzes von § 2 auf zwei spezielle Probleme.
Erste Anwendung:
Es sei speziell K = x': vorgegeben. Man soll den niedersten Ex-
ponenten v feststellen derart, daß x‘ =o (q), wo q die Bedeutung von
(lb) hat, also q = (92, ip, pö) ist.
Da in diesem Falle K^o,y) identisch verschwindet, so liefert System
(11) für K2 den Ausdruck (0, y): und nach Satz (28) darf
man setzen K2 — xv~1. Ebenso findet man K3 = xv~2, . . .; A)+1 = xv~l.
Damit also Kv K2, . . . Kt+1 überhaupt ganz rational ausfallen, ist
notwendig und hinreichend v^>t; dann bedeuten aber die Symbole
(-S4), (Ä2), ... bis einschließlich (A7f) sämtlich 00, und daher sind die
Bedingungen des Hauptsatzes (21) sicher alle erfüllt; d. h. die not-
wendige und hinreichende Bedingung für xv = o (q) ist v > t, oder
ausführlicher:
9 Aus den ursprünglichen Nullstellen x: y : z = a . ■. ß.: yti von cp(xyz) — o,
yyxyz) = 0 entstehen infolge jener Transformation die neuen Nullstellen
x' : y' : z' = : y^,
wobei — a<; ß'i= ß'.-, y'. — yi — rai — wß^ ist. Nun verfüge man über die
Größen v und w so, daß sämtliche £ 0 sind für i = 1, 2. . . .; dies zu erreichen
wäre nur dann unmöglich, wenn unter den Zahlentripeln ß^ y^ auch das
spezielle Tripel o, o, o vorkäme; dies ist aber niemals der Fall; denn von den
drei homogenen Koordinaten dines Kurvenpunktes ist immer wenigstens
eine von Null verschieden.
Da aber (p und ip als teilerfremd vorausgesetzt sind, also nicht beide
durch z teilbar sein können, also etwa ip nicht durch z teilbar ist, so
läßt sich z herausheben und man erhält
(31) z ■ K(xyz') == o (cp^xyz), <ß(xyz)')-
Aus (30) folgte (31). Wendet man dieses Verfahren v-mal an,
so ist der Satz (29) bewiesen.
Um also den Hauptsatz (21) auch zur Prüfung der homogenen
Kongruenz K(xyz) = o (cptxyzß y’txyzß) anwenden zu können, hat man
nach Satz (29) nur dafür zu sorgen, daß cp, xp keinen gemein-
samen Punkt x-. y: z = a : ß : o besitzen. Dies ist aber durch eine lineare
Transformation folgender Art immer erreichbar1):
(32) x = x'- y = y’’, z = z'-\-vxr-\-ivy',
welcher man simultan die Polynome K, <p, ip unterwirft.
§3.
Anwendung des Hauptsatzes von § 2 auf zwei spezielle Probleme.
Erste Anwendung:
Es sei speziell K = x': vorgegeben. Man soll den niedersten Ex-
ponenten v feststellen derart, daß x‘ =o (q), wo q die Bedeutung von
(lb) hat, also q = (92, ip, pö) ist.
Da in diesem Falle K^o,y) identisch verschwindet, so liefert System
(11) für K2 den Ausdruck (0, y): und nach Satz (28) darf
man setzen K2 — xv~1. Ebenso findet man K3 = xv~2, . . .; A)+1 = xv~l.
Damit also Kv K2, . . . Kt+1 überhaupt ganz rational ausfallen, ist
notwendig und hinreichend v^>t; dann bedeuten aber die Symbole
(-S4), (Ä2), ... bis einschließlich (A7f) sämtlich 00, und daher sind die
Bedingungen des Hauptsatzes (21) sicher alle erfüllt; d. h. die not-
wendige und hinreichende Bedingung für xv = o (q) ist v > t, oder
ausführlicher:
9 Aus den ursprünglichen Nullstellen x: y : z = a . ■. ß.: yti von cp(xyz) — o,
yyxyz) = 0 entstehen infolge jener Transformation die neuen Nullstellen
x' : y' : z' = : y^,
wobei — a<; ß'i= ß'.-, y'. — yi — rai — wß^ ist. Nun verfüge man über die
Größen v und w so, daß sämtliche £ 0 sind für i = 1, 2. . . .; dies zu erreichen
wäre nur dann unmöglich, wenn unter den Zahlentripeln ß^ y^ auch das
spezielle Tripel o, o, o vorkäme; dies ist aber niemals der Fall; denn von den
drei homogenen Koordinaten dines Kurvenpunktes ist immer wenigstens
eine von Null verschieden.