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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0099
Bemerkungen zum Brandtscheu Gruppoid. 99
füllt und ist pv die höchste Potenz von p, die in den Exponenten von x
aufgeht, so hat f(x) = 0 genau “v verschiedene Wurzeln, die je pv-mal
zu zählen sind. Ein algebraisches Element heißt von erster Art in
bezug auf wenn es in <4 eine irreduzible Gleichung mit lauter ver-
schiedenen Wurzeln befriedigt; es heißt Wurzelelement in bezug auf
wenn es eine in St irreduzible Funktion annulliert, die nur eine, mehrfach
zu rechnende Nullstelle hat. Alle Elemente des algebraischen Ober-
körpers )Dc von die in bezug auf St von erster Art sind, bilden einen
Körper 9Jc0 und jedes nicht zu Ti0 gehörige Element aus Ti ist in bezug
auf Ti0 Wurzelelement.1) Den Grad m0 von Ti0 bezeichnet man als
reduzierten Grad von Ti.
Zur weiteren Erledigung unserer Aufgabe liefert die von Dedekind2)
gegebene Theorie der isomorphen Abbildungen eines Körpers die er-
forderlichen Hilfsmittel.
Definition3): Ist f ein beliebiger Unterkörper eines Körpers St, (p
eine isomorphe Abbildung von f auf einen Körper ! und ip eine isomorphe
Abbildung des Gesamtkörpers *4, durch die f in derselben Weise wie
durch cp auf f bezogen wird, so nennen wir ip ein Multiplum von (p und
sagen, die Abbildung <p lasse sich zu einer Abbildung des Gesamtkörpers
erweitern.
Hilfssatz: Ist St ein beliebiger Körper, (p eine isomorphe
Abbildung von .4 auf einen Körper St, p ein in bezug auf A
algebraisches Element, so läßt sich cp stets zu einer Ab-
bildung des Körpers St (/z) erweitern. Die Anzahl der Mul-
tipla von tp, durch die St (/z) auf untereinander über St konjugierte
Körper bezogen wird, ist gleich m, wenn der Grad von /z gleich
m und/z von erster Art ist, dagegen gleich 1, wenn p Wurzel-
element ist.
Beweis4): Die irreduzible Gleichung
f (x) = xm 4~ ar xm_1 -f- am = 0
der p in $ genügt, gehe durch cp über in die Gleichung
f (x) = x“ -F äi x“-1 + ... 4 äm = 0,
die in ,4 natürlich ebenfalls irreduzibel ist. Bezieht man nun die
B St. S. 238.
2) R. Dedekind, Suppl. XI zu Dirichlet’s Zahlentheorie, 4. Auf!. S. 456- 466,
474-479.
3) Vgl. R. Dedekind, a. a. 0. S. 463.
4) Vgl. auch A. Ostrowski, Fragen der allgemeinen Körpertheorie, Journ.
f. d. r. u. a. Math. 143, S. 263.
füllt und ist pv die höchste Potenz von p, die in den Exponenten von x
aufgeht, so hat f(x) = 0 genau “v verschiedene Wurzeln, die je pv-mal
zu zählen sind. Ein algebraisches Element heißt von erster Art in
bezug auf wenn es in <4 eine irreduzible Gleichung mit lauter ver-
schiedenen Wurzeln befriedigt; es heißt Wurzelelement in bezug auf
wenn es eine in St irreduzible Funktion annulliert, die nur eine, mehrfach
zu rechnende Nullstelle hat. Alle Elemente des algebraischen Ober-
körpers )Dc von die in bezug auf St von erster Art sind, bilden einen
Körper 9Jc0 und jedes nicht zu Ti0 gehörige Element aus Ti ist in bezug
auf Ti0 Wurzelelement.1) Den Grad m0 von Ti0 bezeichnet man als
reduzierten Grad von Ti.
Zur weiteren Erledigung unserer Aufgabe liefert die von Dedekind2)
gegebene Theorie der isomorphen Abbildungen eines Körpers die er-
forderlichen Hilfsmittel.
Definition3): Ist f ein beliebiger Unterkörper eines Körpers St, (p
eine isomorphe Abbildung von f auf einen Körper ! und ip eine isomorphe
Abbildung des Gesamtkörpers *4, durch die f in derselben Weise wie
durch cp auf f bezogen wird, so nennen wir ip ein Multiplum von (p und
sagen, die Abbildung <p lasse sich zu einer Abbildung des Gesamtkörpers
erweitern.
Hilfssatz: Ist St ein beliebiger Körper, (p eine isomorphe
Abbildung von .4 auf einen Körper St, p ein in bezug auf A
algebraisches Element, so läßt sich cp stets zu einer Ab-
bildung des Körpers St (/z) erweitern. Die Anzahl der Mul-
tipla von tp, durch die St (/z) auf untereinander über St konjugierte
Körper bezogen wird, ist gleich m, wenn der Grad von /z gleich
m und/z von erster Art ist, dagegen gleich 1, wenn p Wurzel-
element ist.
Beweis4): Die irreduzible Gleichung
f (x) = xm 4~ ar xm_1 -f- am = 0
der p in $ genügt, gehe durch cp über in die Gleichung
f (x) = x“ -F äi x“-1 + ... 4 äm = 0,
die in ,4 natürlich ebenfalls irreduzibel ist. Bezieht man nun die
B St. S. 238.
2) R. Dedekind, Suppl. XI zu Dirichlet’s Zahlentheorie, 4. Auf!. S. 456- 466,
474-479.
3) Vgl. R. Dedekind, a. a. 0. S. 463.
4) Vgl. auch A. Ostrowski, Fragen der allgemeinen Körpertheorie, Journ.
f. d. r. u. a. Math. 143, S. 263.