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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0102
102
Friedrich Karl Schmidt:
müssen wir also nur zeigen, daß jede Transmutation von 3k über £ in Ij
enthalten ist. Der Ausdruck
B (u) — ux + ß2 U2 4~ • • • + ßm Um,
wo ßx, ß2, . . ., ßm eine Basis von 3k und u15 u2, ..um Unbestimmte
bedeuten, gehe durch die Transmutationen von 1) über in die Ausdrücke
B (U) — ß 1 U1 4" ß'% U2 4“ ■ • • 4~ ß'rn um>
(u) = ß^ 1h + ß2^ u2 4- ß^ um.
In der GleichungF(x; u) == (x-—j?(u)) (x-— B (u))... (x—B(h—1) (u)) = 0,
der ß(u) genügt, bleiben die Koeffizienten der Potenzprodukte von
x, u0, . . ., um bei allen Transmutationen von fj ungeändert, was sich
aus der Gruppeneigenschaft von I) ergibt. Diese Koeffizienten gehören
daher nach Definition zu £, und B (u) kann in der Tat durch eine
Transmutation von 3k über £ stets nur in einen der Ausdrücke B (u),
B' (u), . . ., (u) überführt werden, die bereits durch die Trans-
mutationen aus f) geliefert werden.x)
Der Satz 3 kann im allgemeinen nicht auf ein Teilgruppoid H von
r ausgedehnt werden, d. h. zu einem Teilgruppoid von H von F, bei
dem das Produkt aus Rang und Ordnung ein Teiler des Produkts aus
Rang und Ordnung von F und eine Einheit durch die identische Ab-
bildung von 3Jc gegeben ist, gehört nicht notwendig ein Zwischenkörper
zwischen und 3k. Um dies einzusehen, gehen wir zu dem Kompositum
der Körper 3Jc(1), 31t<2) , ... über, das ein endlicher Normalkörper 31
über £ ist. Alle Transmutationen von 3? über £ bilden eine Gruppe (3;
3k gehört zu emer Untergruppe (ß0 von ® und das Gruppoid A ist dem
Faktorgruppoid ®/®0 isomorph. Jeder Zwischenkörper zwischen £
und 3k gehört zu einer Zwischengruppe zwischen ® und (fi0 und umgekehrt
existiert nach Satz 3 zu jeder Zwischengruppe zwischen & und (30 ein
Zwischenkörper zwischen £ und 3k. Zu einem Teilgruppoid II gibt es
also dann und nur dann einen zugehörigen Unterkörper von 3k wenn II
bei der Gruppendarstellung ®/($0 eine Zwischengruppe zugeordnet ist.
Da den Untergruppen von B und nur ihnen bei jeder Gruppendarstellung
von B eine Zwischengruppe entspricht, so stellt Satz 3 nach dem in § 1
Gesagten in der Tat das weitestgehende Resultat dar, das sich im all-
x) Herr A. Loewy, a. a. 0. S. 40, zeigt zunächst, daß es zu einer Untergruppe
I) ein „zugehöriges“ Element gibt und folgert dann die Existenz eines zugehörigen
Unterkörpers. Er macht infolgedessen die bei Zahlkörpern stets erfüllte Voraus-
setzung (S. 41), daß 5t unendlich viele Elemente enthält. Der im Text gegebene
Beweis zu Satz 3 gilt dagegen unterschiedslos für alle Körper.
Friedrich Karl Schmidt:
müssen wir also nur zeigen, daß jede Transmutation von 3k über £ in Ij
enthalten ist. Der Ausdruck
B (u) — ux + ß2 U2 4~ • • • + ßm Um,
wo ßx, ß2, . . ., ßm eine Basis von 3k und u15 u2, ..um Unbestimmte
bedeuten, gehe durch die Transmutationen von 1) über in die Ausdrücke
B (U) — ß 1 U1 4" ß'% U2 4“ ■ • • 4~ ß'rn um>
(u) = ß^ 1h + ß2^ u2 4- ß^ um.
In der GleichungF(x; u) == (x-—j?(u)) (x-— B (u))... (x—B(h—1) (u)) = 0,
der ß(u) genügt, bleiben die Koeffizienten der Potenzprodukte von
x, u0, . . ., um bei allen Transmutationen von fj ungeändert, was sich
aus der Gruppeneigenschaft von I) ergibt. Diese Koeffizienten gehören
daher nach Definition zu £, und B (u) kann in der Tat durch eine
Transmutation von 3k über £ stets nur in einen der Ausdrücke B (u),
B' (u), . . ., (u) überführt werden, die bereits durch die Trans-
mutationen aus f) geliefert werden.x)
Der Satz 3 kann im allgemeinen nicht auf ein Teilgruppoid H von
r ausgedehnt werden, d. h. zu einem Teilgruppoid von H von F, bei
dem das Produkt aus Rang und Ordnung ein Teiler des Produkts aus
Rang und Ordnung von F und eine Einheit durch die identische Ab-
bildung von 3Jc gegeben ist, gehört nicht notwendig ein Zwischenkörper
zwischen und 3k. Um dies einzusehen, gehen wir zu dem Kompositum
der Körper 3Jc(1), 31t<2) , ... über, das ein endlicher Normalkörper 31
über £ ist. Alle Transmutationen von 3? über £ bilden eine Gruppe (3;
3k gehört zu emer Untergruppe (ß0 von ® und das Gruppoid A ist dem
Faktorgruppoid ®/®0 isomorph. Jeder Zwischenkörper zwischen £
und 3k gehört zu einer Zwischengruppe zwischen ® und (fi0 und umgekehrt
existiert nach Satz 3 zu jeder Zwischengruppe zwischen & und (30 ein
Zwischenkörper zwischen £ und 3k. Zu einem Teilgruppoid II gibt es
also dann und nur dann einen zugehörigen Unterkörper von 3k wenn II
bei der Gruppendarstellung ®/($0 eine Zwischengruppe zugeordnet ist.
Da den Untergruppen von B und nur ihnen bei jeder Gruppendarstellung
von B eine Zwischengruppe entspricht, so stellt Satz 3 nach dem in § 1
Gesagten in der Tat das weitestgehende Resultat dar, das sich im all-
x) Herr A. Loewy, a. a. 0. S. 40, zeigt zunächst, daß es zu einer Untergruppe
I) ein „zugehöriges“ Element gibt und folgert dann die Existenz eines zugehörigen
Unterkörpers. Er macht infolgedessen die bei Zahlkörpern stets erfüllte Voraus-
setzung (S. 41), daß 5t unendlich viele Elemente enthält. Der im Text gegebene
Beweis zu Satz 3 gilt dagegen unterschiedslos für alle Körper.