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SITZUNGEN

2. Die Grundgleichungen
Es beschreibe u0 die freie Oberfläche, Uo sei das Potential mit ul = Uq , die Anfangs-
werte h° = («o, m i) seien wirbelfrei. Durch die Abbildung y y/(l + »0) plätten wir
die freie Oberfläche. Alle dadurch entstehenden Terme werden mit f gekennzeich-
net. Das 2d-Eulersystem im Gebiet (t, x, y) G (0,°o) xRy (0, 1) =: Q lautet
DUt + Ux - AU = G(U), w|t=0 = u°, (1)
Dom(A) = H2(0, 1) A {U?Jy = 0, iß = wj.

Hierbei gilt






AU

~l-l2U0
u
\ -Um /

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0

r kennzeichnet die nichtlinearen Trägheitsterme. Wir arbeiten in Hilbert-Räumen
Hk bzw. hk in R x (0, 1) resp. R . Die t-Abhängigkeit wird gekennzeichnet durch HJ’k,
wobei / die Regularität in t anzeigt. Tatsächlich benutzen wir
u G /i0’4 0 ft1-3 =: fe4, U G H0’4 O H1’3 =: K4.
Sei nun 4? die einseitige Laplace-Tranformation. Nach einem Satz von Paley und
Wiener [Y68, p. 161] liegt Ü = ßU im Hardy-Lebesgue-Raum Jf0,4 D H1,3 = : K4.
Seme Elemente sind holomorphe Funktionen in C+ und L2-integrierbar entlang
jeder Geraden s = a + iß, a > 0 fest, ß G R .Als Norm in H0,k verwende

\Uß0:k = £ \Ußß,ß\2Hkdß.
System (1) schreibt sich jetzt
Üx — A(s)Ü = G(4?-1 Ü) + Du0,
H(s) = A - sD, Ü G K4.
Aufgefasst als Abbildung in K4, erzeugt (2) eine Kontraktion, wenn | m0 | klein
gegen 1 ist.

3. Die Dipersionsrelation
Das Spektrum von Aß) ist diskret; seine Eigenwerte G (s) erfüllen die Dispersions-
relation
DR : = {G + sß - /j2 G tan (7=0. (3)
Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen s = C+( und G G Ca.
Wir schneiden CCT entlang (-oo, Jl/2] U [TC/2,oo) und erhalten über dem einfach
zusammenhängenden Gebiet zwei Blätter. Es existieren für jedes a > 0 genau 2