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Sitzungen

zwischen der gesuchten Funktion X und den Messwerten Y an. Für die Parameter
steht in dieser Beobachtungsgleichung der Intergralkern, der wird hier also als bekannt
vorausgesetzt.
Das Anliegen in allen diesen Fällen ist aber, von der gemessenen Größe Y(t) auf die
gesuchte Funktion X(r) zu schließen. Man nennt das ein inverses Problem, und es
heißt „schlecht gestellt“ aus Gründen, die eine Folge davon sind, dass die Systemglei-
chung fehlt. Das muss offensichtlich Konsequenzen haben. Man kann das verfolgen,
wenn man wieder den MAP-Schätzer für X(r) formuliert. Bezeichnet man mit yj N die
Messwerte für Y und mit xL M die unbekannten Werte von X(r) an den Stützstellen
rM, dann gilt
Xi..m = arg max {Q(y1..N I xL.M) q(x1..m)}
X1..M
Setzt man jetzt für die a-priori-Wahrscheinlichkeit q(xj M) eine Konstante ein, d. h.
reduziert man nun wieder den MAP-Schätzer auf den Maximum Likelihood Schätzer,
so wird man feststellen, dass dieser zu wertlosen Schätzungen der gesuchten Funktion
führt, weil die Unsicherheit in den Schätzungen zu groß sind, d. h. bei einer nur auf die
Daten gestützten Invertierung führen kleinste Fehler in den Daten zu sehr großen
Fehlern in den Schätzungen. Man ist also hier gezwungen, eine nichttriviale a-priori-
Wahrscheinlichkeit q(x) einzuführen, also ein Vorwissen über die gesuchte Funktion
in eine Wahrscheinlichkeitsfunktion zu kleiden.
Dabei muss das Vorwissen nicht sehr explizit formulierbar sein, eine gängige a-priori-
Wahrscheinlichkeit q(x) ist z.B.
q(x) oc exp(-XR[x]) mit R[x] = J[x~(r) ]2<d r,
die nur glatte Funktionen als Lösungen zulässt. Eine andere, von uns in der Rheologie
eingeführte gängige a-priori-Wahrscheinlichkeit ist
, fx~(r)]2 >
q(x) oc exp(-XR[x]) mit R[x] = f-dr,
<1 + a[x~(r)]2
die nur Funktionen als Lösungen zulässt, die im allgemeinen ebenfalls glatt sind, aber
auch einige Kanten haben können, falls die Daten das nun wirklich nahe legen.
Wie man sieht, enthalten diese Dichten alle noch einen Vorfaktor X im Exponenten,
der das Gewicht des Vorwissens relativ zu der Information aus den Daten misst. Man
sieht das besonders deutlich, wenn man berücksichtigt, dass sich die Dichte Q(y I x) bei
normalverteilten Fehlern auch als Exponent schreiben lässt und dann die Maximierung
der Dichte q(x I y) zu einer Minimierung der negativen Exponenten führt. Man erhält
dann als MAP-Schätzer
1N 1 1
X1..M = arg min 2—y (y° - Fi (xi..m))2 + ^R(xi..m)
X1..M 11=1 i
Für die Bestimmung dieses Parameters X, auch Regularisierungsparameter genannt,
hat man nun auch ein mathematisch objektives Verfahren zu entwickeln.
Man hat also bei der Konstruktion des Schätzers die Form der a-priori-Wahr-
scheinlichkeit und die Strategie zur Bestimmung des Regularisierungsparameter fest-
zulegen. Das gibt natürlich Anlass zu den verschiedensten Ansätzen und damit zu