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Sitzungen

rianten Billards, z.B. solchen mit einer dreifachen Symmetrie (C3-Symmetrie), die
vollständig chaotisch sind, kann man GUE-Statistik beobachten. Und es ist besonders
faszinierend, daß die Abstände der nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-
Funktion ebenfalls GUE-Statistik aufweisen.
Da die bisher diskutierten Eigenschaften der Niveaustatistik an ganz unterschiedli-
chen Systemen wie Billards oder Atomkernen auftreten, haben sie generischen Cha-
rakter. Sie werden nur durch die Chaotizität und die Symmetrien des Systems
bestimmt, wohingegen systemspezifische Größen wie Abmessungen oder die konkre-
te Form eines Billards keinen Einfluß haben.
Betrachtet man hingegen die spektralen Korrelationen über mehrere mittlere
Niveauabstände hinweg, so tritt auch bei vielen chaotischen Systemen nicht-univer-
selles Verhalten auf. So zeigen z.B. die langreichweitigen Korrelationen im Spektrum
eines zweidimensionalen Stadionbillards Abweichungen von der für das chaotische
System erwarteten GOE-Statistik. Dies kann dadurch erklärt werden, daß es im kor-
respondierenden klassischen Stadionbillard eine Klasse von neutralstabilen periodi-
schen Bahnen gibt, sogenannte Bouncing Ball Orbits (BBOs). Es handelt sich um die
Bahnen von Teilchen, die zwischen den beiden parallelen Seiten des Stadions oszillie-
ren und Reste regulärer Bewegung darstellen und beim quantenmechanischen System
Einfluß auf den Verlauf der Niveaudichte haben. Erst wenn man diesen Beitrag aus
dem Spektrum des Quantenbillards extrahiert, zeigt dieses das für chaotische Systeme
charakteristische Verhalten auch auf großen Skalenlängen. Existenz, Stabilität, Länge
und Verlauf der BBOs sind natürlich abhängig von der Beschaffenheit des jeweiligen
Systems und stellen somit nicht-generische Eigenschaften dar.
Auch in Atomkernen werden derart nicht-generische Eigenschaften beobachtet und
als Ausdruck regulärer Bewegung interpretiert. So können deformierte Kerne rotieren
und vibrieren und auch die Protonen und Neutronen eine entmischende Bewegung in
Form einer scherenartigen Schwingung vollführen. Diese Scissors Mode genannte kol-
lektive Bewegung der Nukleonen wurde in Darmstadt vor 15 Jahren erstmals experi-
mentell beobachtet. Dabei wurden mit unelastischer Elektronenstreuung Kernanre-
gungen beobachtet, die alle zu derselben Anregungsmode gehören. Die Regularität
dieser Schwingung manifestiert sich in Poissonscher Niveaustatistik und unterscheidet
sich somit klar von einem durch GOE-Statistik charakterisierten chaotischen Verhal-
ten. Diese Beobachtung spiegelt den nicht-generischen Charakter von kollektiven
Kernbewegungen wider. Vor kurzem konnte die Scissors Mode, die erstmals im mikro-
skopischen System Atomkern gefunden wurde, auch in den erst vor einigen Jahren
entdeckten makroskopischen Bose-Einstein-Kondensaten beobachtet werden.
Neben der statistischen Beschreibung mittels der Theorie der Zufallsmatrizen bie-
tet die oben erwähnte Theorie periodischer Bahnen von Gutzwiller einen weiteren
Zugang zu den gemessenen Spektren von Billards und anderen Systemen. Im Gegen-
satz zur ersteren baut die letztere auf den nicht-generischen Systemeigenschaften - den
periodischen Bahnen - auf, wohingegen die statistische Vorgehensweise der Theorie
der Zufallsmatrizen nur generische Verhaltensweisen beschreiben kann.
Stellt die Breite einer Resonanz von Mikrowellenbillards in den vorangegangenen
Überlegungen noch eine Größe dar, die sich z. B. in der Herabsetzung der experimen-
tellen Auflösung negativ bemerkbar macht, so stecken auch in den Resonanzbreiten
wesentliche Informationen über die Eigenschaften des untersuchten chaotischen
Systems. Besonders interessant ist das Studium der Breiten im Zusammenhang mit