II. Wissenschaftliche Vorträge

lyai war eine Revolution. Es war die Geburtsstunde der hyperbolischen Geometrie
— der Beginn eines neuen Verständnisses dessen, was Geometrie eigentlich ist.
Mathematiker betrachten nicht nur diese drei Geometrien, sondern noch weit
exotischere Geometrien in beliebigen Dimensionen. Ein wichtiges Forschungsge-
biet ist dabei die Untersuchung der Symmetriegruppen dieser Geometrien, sowie
deren diskreter Untergruppen. Solche Untergruppen tauchen zum Beispiel als
Symmetriegruppen von Pflasterungen auf, aber auch als Monodromiegruppen von
Differentialgleichungen, oder durch zahlentheoretische Konstruktionen. Doch
kommen wir zurück zur hyperbolischen Geometrie.
Während wir uns die Sphäre als Oberfläche einer Kugel im dreidimensiona-
len Euklidischen Raum gut vorstellen können, lässt sich die hyperbolische Ebene
leider nicht getreu in den dreidimensionalen Euklidischen Raum einbetten. Alle
Modelle der hyperbolischen Ebene stellen somit nur einige Größen richtig dar,
andere erscheinen anders als sie es in der Realität der hyperbolischen Geometrie
sind.
Das bekannteste Modell der hyperbolischen Ebene ist die Poincare-Kreis-
scheibe, die auch den Kreislimitenbildcrn des niederländischen Künstlers Maurits
Cornelis Escher zugrunde liegt.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie die hyperbolische Ebene aus-
sieht, kann man sich einen „hyperbolischen Fußball“ basteln, der die hyper-
bolische Ebene annäherungsweise beschreibt (siehe http://theiff.org/images/
IFF_HypSoccerBall.pdf): Die euklidische Ebene kann mit regelmäßigen Sechs-
ecken gepflastert werden. Ersetzt man nun immer wieder ein Sechseck durch ein
regelmäßiges Fünfeck, biegt sich das Papier nach oben und wir erhalten einen
klassischen Fußball.
Ersetzen wir das Sechseck jedoch durch ein Siebeneck, erhalten wir den
hyperbolischen Fußball. Je größer man den hyperbolischen Fußball baut, desto
schwieriger wird es, die zusätzliche Fläche unterzubringen. Das Papier biegt sich
immer wieder hoch und runter.
Man kann daran zwei wichtige Eigenschaften sehr anschaulich erkennen:
Zum einen, dass die Umgebung um einen Punkt in der hyperbolischen
Ebene so aussieht wie ein Sattel: In eine Richtung geht es hoch, und in die an-
dere runter. Dies bedeutet, dass die Krümmung des Raumes in jedem Punkt
negativ ist.
Zum anderen, dass in einem Kreis in der hyperbolischen Ebene viel mehr
Fläche enthalten ist als in einem Kreis des gleichen Radius in der Euklidischen
Ebene.
Dies ist eine ganz zentrale Eigenschaft der hyperbolischen Ebene. Während in
der Euklidischen Ebene das Volumen einer Kreisscheibe polynomial wächst, wächst
es in der hyperbolischen Ebene exponentiell und damit viel, viel schneller.

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